y x
巧用“对称性”求点的坐标
1.如图抛物线一部分图象所示,该抛物线的对称轴是 直线x=1，在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是（_3_，__0_）_
y
1
A-1 O 1
B
3
x
C
D
纵坐标相等的点关于对称轴对称，且到对称轴距离相等
巧用“对称性”求方程的根
2.已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为
y
y x2 1
y 1 x2 4 x 3
5
5
5
●A（2，3）
x ●
（-3，0）
B●（-1，0（）●1，0）
纵坐标相等的点关于对称轴对称，且到对称轴距离相等
巧用“对称性”求距离和差最值
6.如图,抛物线y＝x2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C点，顶点为D,且A(－1，0). (1)若点 M（m,0)是x轴上的一个动点， y
4号专家补充：若已知对称轴和X轴上一个点及另一个点坐标可利用对称性来解决
巧用“对称性”比较函数值的大小
3.二次函数y=ax2+bx+c (a＞0)的图象如图 ，对称轴为直线x=2，
图象上有三点(1，y1)，(-1，y2 )，(2.5，y3)则你认为y1，y2，
y3的大小关系应为（ B A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
） B、y2 >y1 > y3
y D、y3>y2>y1
“将军饮马” 问 题唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：
“ 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”
5 已知抛物线C与抛物线y=2x2-4x+5关于x 轴对称，求抛物线C 的解析式。
y
Y=2(x-1)2+3
(1,3)
y=2(x-1)2-3
O
(1,-3)
x
思考：若把抛物线 y=2x2-4x+5绕着顶点旋
式
则 a-b+c= 0
（2）y=ax2+5 与X轴两交点分别为（x1 ,0）,（x2 ,0）
则当x=x1 +x2时，y值为_5___
关纵于坐对标称相轴等对的称点的关点于纵对坐称标轴相对等称，，且且到到对对称称轴轴距距离离相相等等
巧用“对称性”求二次函数解析式
5.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，且经
－ax2－bx－c.
▲ 抛物线关于y轴对称：将解析式中的(x，y)
换成它的对称点(－x，y)，y＝ax2＋bx＋c变为 y＝ax2－bx+c.
▲ 抛物线关于原点对称：将解析式中的(x，y)换 成它的对称点(－x， － y)， y＝ax2＋bx＋c变为
y＝ － ax2+bx － c.
▲ 抛物线绕着 顶点旋转180°后得到的抛物线， 顶点坐标不变，开口方向相反。
过点（0，-3）和点（3，0），则该抛物线与x轴相交
的另一个交点坐标为（－1，0）;
函数解析式为 y=x2-2x-3 。
y
1
x
A O1
B
C
D
纵坐标相等的点关于对称轴对称，且到对称轴距离相等
巧用“对称性”求二次函数解析式
想一想：经过点A（2，3），B（-1，0）且在x 轴上截得的线段长为2,则函数解析式为
当MC＋MD的值最小时，求m的值． C1 2
1M
AO
B
x
-1
C
D
巧用“对称性” 求距离和差最值
6.如图,抛物线y＝ x2＋bx－3与x轴交于A，B两点， 与y轴交于C点，顶点为D,且A(－1，0).
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，
使得△ACQ周长最小？
y
yHale Waihona Puke 1xA O1
B
Q C
D
巧用“对称性” 求距离和差最 6.值如图,抛物线y＝ x2＋bx－3 与x轴交于A，B两点，
转1800
抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-2,7), B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标 为-8的另一点坐标是什么？
①纵坐标相等的点关于对称轴对称且到对称轴距离相等 ②关于对称轴对称的点纵坐标相等且到对称轴距离相等
二次函数解析式常见的三种
表示形式：
对称轴
(1)一般式 y ax2 bx c(a 0) 直线x b
2a
(2)顶点式
y a(x m)2 n(a 0) 直线x m
顶点坐标（m, n)
(3)交点式y a(x x )(x x )(a 0)
1
2
直线x x1 x2
2
条件：若抛物线y ax2 bx c
与X轴交于两点（x ,0)(x ,0)
1
2
1号专家说：如果已知抛物线顶点和一个点坐标，对称轴和最小值等这些条件，
常用顶点式 y a( x m)2 n(a 0) 顶点坐标（m, n)
2号专家建议：如果已知抛物线上任意三个点坐标用一般式
y ax2 bx c(a 0)
3号专家总结：若抛物线与x轴交于两点A（x1,0) B(x2,0)一般用
y a(x x1)( x x2 ) (a 0)
（-1，-3.2）及部分图象如图，由图象可知关于x
的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根分别x1=1.3，
x2=_－_3_._3_
y
观察表格求出二次函数与x轴交点的坐标
x
-1 0
x … 0 0.5 1 1.5 2 … y … -2 -2.25 -2 -1.25 0 …
纵坐标相等的点关于对称轴对称，且到对称轴距离相等
y2
1
-1 y1
2.5 x
y3
纵坐标相等的点关于对称轴对称，且到对称轴距离相等
巧用“对称性” 求代数式的值
4. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且
经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ B ）
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
变（1） 若将对称轴改为直线x=1，其余条件不变，
建模 思想
数学思想方法
本节课知识
感悟与反思
1、抛物线是轴对称图形，充分利用对称轴的方程 x=(x1+x2)/2,注意数形结合思想.
2、在求线段和最小或者差最大问题时，先将问题转 化为基本的几何模型，再利用轴对称性的知识来解 决问题.
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换
成它的对称点(x，－y)， y＝ax2＋bx＋c变为y＝
与y轴交于C点，顶点为D,且A(－1，0).
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P， 使点P到B、C两点距离之差最大？
y
1
x
A O1
B
C
D
P
树上果实累累，通过这堂课 的学习，你是否也有收获？
求点的 坐标方 程的解
比较大 小
代数式的值 求函数解析式
求最值问题
数形结合 分类讨论
思想
思想
二次函数 的对称性
y x
抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-2,7), B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标 为-8的另一点坐标是什么？
y
A(-2,7)
B(6,7)
x
D(1,-8)
C(3,-8)
X=2
①纵坐标相等的点关于对称轴对称，且到对称轴距离相等 ②关于对称轴对称点的纵坐标相等，且到对称轴距离相等