显然仍不能整除 f x .
第一章 多项式
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
F[ x] 的多项式，因而在 F[ x] 里，这一等式仍然成立．
f x g x qx r x
qx 0, r x f x （ii）若 f x 0 ,且 f x g x . 把f x 和g ( x)
按降幂书写: n n 1 f x an x an1 x a1x a0 g x bm x m bm1 x m1 b1x b0
于是由 r x 的唯一性得出，在 F[ x] 里 g x 也不能整除
f x .
总之，两个多项式之间的整除关系 不因为系数域的扩大而改变.
第一章 多项式
例1
确定m ，使 x 1 | x mx mx 1 .
1 n m 令q1 x a n bm x ，并记 f1 x f x q1 x g x,
这里an 0, bm 0,并且 n
m
第一章 多项式
则f1 x 有以下性质：
或者 f1 x 0或 f1 x f x
f k 1 x f k x qk 1 x g x
f x f1 x g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 f k x g x ，于是
第一章 多项式
3、多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
qx , r x F[ x], 使得 f x g xqx r x
这里 r x 0 ，或者 r x g x . 并且满足上述பைடு நூலகம்件的 qx 和r ( x) 只有一对
1、 多项式的整除概念
设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环.
设f x ,g x F[ x ]， 如果存在 hx F[ x] ，使得
定义1
，记为 g x f x 整除 ，则称 f x g xhx
g x | f x ，此时称 g x 是 f x 的因式，否则称
q x q x g x r x r x 上式右边或者为零，或者次数小于 g x 而左边或者是零，或者次数不小于 g x
那么
1 2 2 1
; ;
因此必须两边均为零，从而
q1 x q2 x及r1 x r2 x
第一章 多项式
4、系数所在范围对整除性的影响
设F和F 是两个数域，并且F F ，那么多项式环F[ x] 含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 f x 也是
F 上的一个多项式．
f x , g x F[ x]，则如果在F [x]里 g x 不能整除 f x
，那么在 F[ x] 里 g x 也不能整除 f x . 不能整除 f x , f x 不能等于0．因此在F[ x] 里 g x 事实上，若 g x 0 ，那么由于在F [x]里 g x
g x 不能整除 f x ，记为 g( x ) | f(x)
第一章 多项式
2、多项式整除性的一些基本性质
（1） hx | g x, g x | f x hx | f x （2） hx | f x, hx | g x hx | f x g x （3） hx | f x, g x F[ x] hx | f xg x （4） hx | f i xi 1,2,, k , g i xi 1,2,, k hx | f1 g1 f k g k （5） 0 c F , f x F[ x] c | f x （6） 0 c F , f x F[ x] cf x | f x （7） f x | g x, g x | f x f x cg x0 c F
注1：qx , r x 分别称为 g x 除f ( x)所得的商式和
余式
注2： g x 0, g x | f x r x 0.
第一章 多项式
证：先证定理的前一部分. （i）若 f x 0 , 或 f x g x . 则可以取
qx q1 x qk x 及r x f k x
便给出了所说的表示。
第一章 多项式
现在证明定理的后一部分．假设f (x)有两种符合定 理中要求的表示法：
f x g xq1 x r1 x g xq2 x r2 x
若是 f1 x 0且 f1 x g x . 则对 f1 x 重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：
f1 x , f 2 x ,, f k x , 及 q1 x , q2 x ,, qk x ,
使得 而