高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。

证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY CY AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ΛΛ，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y ===Λ21,1,021=====++n p p y y y Λ则可得一线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++11002211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21Λ=使()0111000<--=----+++='p n AX X s sΛΛ， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。

13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。

证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ， 因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ， 于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。

14．证明：二次型()n x x x f ,,,21Λ是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证 必要性。

采用反证法。

若正惯性指数≠p 秩r ，则r p <。

即()n x x x f ,,,21Λ22122221r p p y y y y y ---+++=+ΛΛ，若令021====p y y y Λ，11===+r p y y Λ，则可得非零解()n x x x ,,,21Λ使()0,,,21<n x x x f Λ。

这与所给条件()n x x x f ,,,21Λ0≥矛盾，故r p =。

充分性。

由r p =，知()n x x x f ,,,21Λ22221p y y y +++=Λ，故有()0,,,21≥n x x x f Λ，即证二次型半正定。

15．证明：2112⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i ni i x x n 是半正定的。

证 2112⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i ni i x x n()-+++=22221n x x x n Λ()n n n n n x x x x x x x x x x x x x12321212222122222-+++++++++++ΛΛΛΛ()1-=n ()-+++22221n x x x Λ（+++++ΛΛ32121222x x x x x x nn n n x x x x 1222-++Λ）()()()2121233121222121222n n n n x x x x x x x x x x x x +-+++-++-=--Λ()21∑≤<≤-=nj i j ix x。

可见：1） 当n x x x ,,,21Λ不全相等时 ()n x x x f ,,,21Λ()021>-=∑≤<≤nj i j ix x 。

2） 当n x x x ===Λ21时 ()n x x x f ,,,21Λ()021=-=∑≤<≤nj i j ix x。

故原二次型()n x x x f ,,,21Λ是半正定的。

16．设()AX X x x x f n '=,,,21Λ是一实二次型，若有实n 维向量21,X X 使 01>'AX X ， 022<'AX X 。

证明：必存在实n 维向量00≠X 使000='AX X 。

设A 的秩为r ，作非退化线性替换CY X =将原二次型化为标准型2222211r r y d y d y d AX X +++='Λ， 其中r d 为1或-1。

由已知，必存在两个向量21,X X 使011>'AX X 和 022<'AX X ， 故标准型中的系数r d d ,,1Λ不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p 个1，q 个-1， 且r q p =+，即221221q p p p y y y y AX X ++---++='ΛΛ，这时p 与q 存在三种可能：q p =， q p >， q p < 下面仅讨论q p >的情形，其他类似可证。

令11===q y y Λ， 01===+p q y y Λ， 11===++q p p y y Λ， 则由CY Z =可求得非零向量0X 使022122100=---++='++q p p p y y y y AX X ΛΛ， 即证。

17．A 是一个实矩阵，证明：()()A rank A A rank ='。

证 由于()()A A rank A rank '=的充分条件是0=AX 与0='AX A 为同解方程组，故只要证明0=AX 与0='AX A 同解即可。

事实上00='⇒=AX A AX 0=''⇒AX A X ()()0='⇒AX AX 0=⇒AX ，即证0=AX 与0='AX A 同解，故()()A rank A A rank ='。

注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、 补充题参考解答1． 用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果： 1）112212221+--++++n n n n n x x x x x x x x Λ； 2）n n x x x x x x 13221-+++Λ； 3）jnj i ini ixx x∑∑≤<≤=+112；4）()21∑=-ni ix x ，其中nx x x x n+++=Λ21。

解 1）作非退化线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=+=+=+=--+++-n nn n n n n n n n n n yy x y y x y y x y y x yy x y y x 212122121111222211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，即TY X =，则原二次型的标准形为222122122221n n n n y y y y y y f ----+++=-+ΛΛ，且替换矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=10010110111101101001ON NOT ， 使⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='1111OO AT T ， 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21212121N N A 。

2）若23211x x x y ++=， 23212x x x y +-=，则()()21212221y y y y y y -+=-3221x x x x +=， 于是当n 为奇数时，作变换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=+++++n n i i i i i i i ix y x x x y x x x y 2221121 ()2,,5,3,1-=n i Λ，则21222423222113221----++-+-=+++n n n n y y y y y y x x x x x x ΛΛ，且当14+=k n 时，得非退化替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1011000111111100000111111111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛT ， 当34+=k n 时，得非退化替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1011000111111100000111111111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛT ， 故当n 为奇数时，都有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---='0111111O AT T 。

当n 为偶数时，作非退化线性替换⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+=+-=++=---+++++222211121121n n n n n n i i i i i i i ix x y x x y x x x y x x x y ()3,,5,3,1-=n i Λ，则2212423222113221n n n n y y y y y y x x x x x x -++-+-=+++--ΛΛ，于是当k n 4=时，得非退化替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=111100111111000011111111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛT ， 于是当24+=k n 时，得非退化替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=111100111111000011111111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛT ， 故当n 为偶数时，都有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---='111111O AT T 。

3） 由配方法可得+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑==232221314321nj j n j j x x x x f ()22121112n n n x nn x n x n n ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-+-Λ，于是可令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=--==∑∑n n nn n nj jn j jx y x n x y x x y x x y 1312111322211ΛΛΛΛΛΛΛ，则非退化的线性替换为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-----=-----=----n n nn n nn n n y x y n y x yn y n y y x y ny n y y y x 111131111312111132213211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，且原二次型的标准形为()2212221211243n n y nn y n n y y f ++-+++=-Λ， 相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------=100011000111100111311011131211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n n n n T ， 又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1212121211212121211212121211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛA ， 所以()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-='n n n n AT T 10001200000640000043000001ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。