Dollar duration:
DD = D* × P = 9.71 × 55.37 = 537.55
DV01 = DVBP = DD X 0.0001=0.0538
利率由6%升至7%
价格变动:
P = [9.71 × 55.37] (0.01) + 0.5[98.97 × 55.37] (0.01) 2 = 5.375 + 0.274 = 5.101
自习题(1998 FRM Exam Q.29)
A,B分别为两永续债劵,A的票面年利率 为4%,B的票面年利率为8%,若两永续 债劵在相同的收益下交易,则两者存续 期的关系为: A. A的存续期大过B的存续期 B. A的存续期小过B的存续期 C. 两者的存续期相同 D. 以上皆非
自习题(1999 FRM Exam Q.75)
解题:
代公式:
D = D* P P D y * D = = P P 99.95 100.04 0.002 = = 4.5 100
例题 (1998 FRM Exam Q.22)
年期10年以面值定价的债劵(par bond)其 修正存续期为7,convexity 为50.若收 益上升 10个基本点,则其价格之变动为: A. B. C. D. -0.705 -0.700 -0.698 -0.690
dP DD = f '( y0 ) = dy
简单存续期 (Simply, Macauley Duration,D)
1 n tC 1 nFV D = ∑ t =1 + t n P (1 + y ) p (1 + y )
修正存续期 (modified duration, D*)
D D = D * × P0 P0 = m arket price
*
例题
市场利率为6%的10年Zero,其现值
100 P= = 55.368 20 (1 + 0.06 / 2)
Macaulay存续期 : D = 20/2=10 修正存续期:
20 1 1 D = × = 19.42 × = 9.71 (1 + 0.06 / 2) 2 2
*
Convexity:
20 1 1 C = 21 × × = 395.89 × = 98.97 2 (1 + 0.6 / 2) 4 4
解题:
代公式:
1 P = D Py + CP ( y ) 2 2 = 0.6975
*
例题 (2002 FRM Exam Q.118)
一剩下18个月的政府公债票面年息6%,半年 复利的年收益为4%,下次给付利息的时间 刚好为6个月后,则此公债的Macaulay duration接近: A. 1.023年 B. 1.457年 C. 1.500年 D. 2.915年
二阶微分:
d 2P FV = (T + 1)( T ) 2 dy (1 + y )T +2 (T + 1)T = P 2 (1 + y )
故convexity 等於
(T + 1)T C= (1 + y )2
价格变动的趋近式
将D* 及 C 代入价格变动的公式,得
1 P = D × P y + [C × P ] ( y ) 2 + ... 2
2
k = (1 + r ) 1
0.5
Zero 的折现,现值及未来值
无利息给付的债券称为 「Zero」,其现值 (PV)与未来值简单为:
CT PV = T (1 + y )
FV = PV × (1 + y )
T
收益 (yield) = 内部报酬率(internal rate of return) 有效年利率(effective annual rate, EAR)
dp dy = D p 1+ y = D*dy D * where D = 1+ y
实务上,风险是以「一个基本点的价值」 (dollar value of a basis point, DVBP, DV01)来衡量
DV 01 = D × P0 × 0.0001
*
Convexity (C)为二阶微分
若你同时「放空」两种皆为20年期的债劵: 债劵A: 面息6.0%,收益6.0%; 债劵B: 面息6.5%,收益6.0% 若利率下降,何者风险较大: A. 债劵A B. 债劵B C. 两者风险相同 D. 以上皆非
�
如果票面利率 = 收益率,则价格等於票 面值,称为 par bond 因为票面利率在债劵发行时已固定,故 债劵价格可直接写成收益率(利率)的函数
P = f ( y ), dp = f '( y ) < 0 dy
永续债劵
永续债劵 (consol, perpetual bond)
1 1 1 P = c × FV + + + ... 2 3 (1 + Y ) (1 + Y ) (1 + Y ) c = FV Y
若只计入存续期, 新价格 = 55.368 – 5.375 = 49.992 若 D 及 C 都计入 新价格 = 55.368 - 5.101 = 50.266
实际新价格
100 P = = 5 0 .2 5 7 20 (1 + 0 .0 7 / 2 )
预期误差: 1.只计入存续期: (49.992 - 50.257)/50.257 = -0.53% 2. D 及 C 都计入 (50.266-50.257)/50.257 = 0.02%
d P f ''( y0 ) = 2 = C × P0 dy
(二阶微分是衡量曲线的「曲率」)
2
无利息债劵(zero-coupon bond, Zero)的唯 一给付为到期时支付票面价值, C = FV, 一阶微分:
C FV = P= T (1 + y ) (1 + y )T dP FV FV 1 = ( T ) = ( T ) T +1 T dy (1 + y ) (1 + y ) (1 + y ) 1 = ( T ) P (1 + y )
价格与收益率之关系
多期债券 债劵价格 =未来现金流的现值
P = ∑ t =1
t =T
Ct t (1 + y )
C = 殖利率 (coupon rate) FV =票面值 (face value)
则到期前,每期现金流为利息收入
Ct = c × FV
到最终期时,现金流为利息收入加上票 面值
Ct = c × FV + FV
有效convexity为
D D+ P( y0 y ) P0 P0 P( y0 + y ) C = = / y y yP0 yP0
E
例题 (1998 FRM Exam Q.17)
债劵现价$100, 收益为8%.若收益上升 一个基本点(basis point),则价格跌至 $99.95;若收益下降一个基本点,则价 格升至$100.04,请问修正存续期为: A. 5.0 B. -5.0 C. 4.5 D. -4.5
半年复利
债券通常半年复利一次,故
CT PV = S 2T (1 + y / 2)
yS :以半年计算的收益
连续复利
若以连续复利计算,则现值为:
PV = CT × e
Yc :连续复利的收益
y T
c
收益 (Yield) 的种类
现在收益 (Current Yield) 到期收益 (Yield to Maturity) 赎回收益 (Yield to Call )
重要概念:
如果现值及最终值固定,则复利次数增 加,所对应的收益率将降低
例题 (1999 FRM Exam Q.17)
假定利率8%,半年复利一次,则对应之年 利率为何? A. 9.20% B. 8.16% C. 7.45% D. 8.00%
例题 (1998 FRM Exam Q.28)
假定利率10%,连续复利,则对应之半 年复利之利率为何? A. B. C. D. 10.25% 9.88% 9.76% 10.52%
故修正存续期 D*:
T D = 1+ y
*
传统存续期 (或称为 Macaulay duration, D)在 Zero债劵时,D = T 留意: 1. 若连续复利,则 D* = D 2.存续期是以期数T来表达,故若一年复利一 次,则存续期以「年」为单位;若半年复利 一次,则存续期必须除以2,转化为以「年」 为单位
解题:
若本金为 A0, 连续复利(10%),一年后得:
A1 = A0 e
(10%)(1)
对应之半年复利之利率为若r, 一年后得:
A1 = A0 (1 + r / 2)2
两式相等得:
r = ( e0.1 1) × 2 = 10.25%
债券的风险
利率风险 (Interest Rate Risk) 再投资风险 (Reinvestment Risk) 信用风险 (Credit Risk)
例题 (1998 FRM Exam Q.12)
债劵现价 $102.9,剩一年到期,票面利 率 8%,半年给付一次,则该债劵的收 益率为何? A. 8% B. 7% C. 6% D. 5%
题:
方法一: 代公式
$4 $104 + = $102.9 2 (1 + y / 2) (1 + y / 2)
债券的基本概念
决定债券价格的基本因素
面值 (Par Value) 殖利率 (Coupon Interest Rate ) 到期日 (Maturity Date) 可赎回条款 (Call Provision) 信用风险 (Credit Risk)