2020届高三数学复习 数列解题方法集锦数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。

而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。

近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

一、数列的基础知识 1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ； 1.1 已知S n 求a n对于这类问题，可以用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .1.2 已知a n 求S n这类问题实际上就是数列求和的问题。

数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。

2．递推数列：⎩⎨⎧==+)(11n n a f a aa ，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

例1 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n+3,求数列{a n }的通项a n ，并判断数列{a n }是否为等差数列。

解：由已知：S n =n 2-2n+3，所以，S n-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n 2-4n+6,两式相减，得：a n =2n-3(n ≥2),而当n=1时,a 1=S 1=2,所以a n =⎩⎨⎧≥-=)2(32)1(2n n n .又a 2-a 1≠a 3-a 2，故数列{a n }不是等差数列。

注意：一般地，数列{a n }是等差数列⇔S n =an 2+bn ⇔S n2)(1n a a n +.数列{a n }是等比数列⇔S n =aq n-a.例2 已知数列{a n }的前n 项的和S n =2)(1n a a n +,求证：数列{a n }是等差数列。

证明：因为S n =2)(1n a a n +，所以，2))(1(111++++=n n a a n S两式相减，得：2)())(1(1111n n n a a n a a n a +-++=++，所以n n n na a n a a -++=++111)1(2，即：11)1(a na a n n n -=-+，同理： 11)1()2(a a n a n n n --=--，即：11)2()1(a a n a n n n +-=--，两式相加，得：n n n a n a n a n )22()1()1(11-=-+--+，即：n n n a a a 211=+-+，所以数列{a n }是等差数列。

例3 已知数列{a n }的前n 项的和S n + a n =2n+1,求数列{a n }的通项a n . 解：因为S n + a n =2n+1，所以， S n+1+a n+1=2(n+1)+1,两式相减，得： 2a n+1-a n =2,即：2a n+1-a n +2=4，2a n+1-4= a n -2，所以21221=--+n n a a ，而S 1+a 1=3，a 1=23，故a 1-2=21-，即：数列{a n }是以21-为首项，21为公比的等比数列，所以a n -2=21-(21)n-1= - (21)n ,从而a n =2 - (21)n 。

例 4 （2000年全国）设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0，(n=1,2,3,…),则它的通项公式是a n = .分析：（1）作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不完全归纳法。

令n=1，得：2a 22+a 2-1=0,解得，a 2=21.令n=2, 得：3a 32+21a 3-21=0, 解得，a 3=31.同理，a 4=41由此猜想：a n =n1. (2)由(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0，得：[(n+1)a n+1-na n ](a n+1+a n )=0, 所以(n+1)a n+1=na n ，这说明数列是常数数列，故na n =1，a n =n1. 也可以由(n+1)a n+1=na n ，得：11+=+n na a n n ，所以 nn n n n a a a a a a a a n n n n n 1121121112211=⋅⋅⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅=---ΛΛ。

例5 求下列各项的和 (1)nn n n n n n C n nC C C C )1(321210++++++-Λ.(2)1+2⨯21+3⨯22+4⨯23+…+n ⨯2n-1.(3)1⨯2+2⨯3+3⨯4+…+n(n+1).(4))2(1421311+++⨯+⨯n n Λ. 解：（1）设 S n =nn n n n n n C n nC C C C )1(321210++++++-Λ,则S n =0112)1(n n n n n n C C nC C n +++++-Λ,两式相加，得：2S n = (n+2)nn n n C n C n C )2()2(10+++++Λ =(n+2)(nn n n C C C +++Λ10)=(n+2)2n ,所以S n =(n+2)2n-1.思考：nn n n n n n n n C C C C C 112102242+-+++++Λ又如何求呢？（2）设S n =1+2⨯21+3⨯22+4⨯23+…+n ⨯2n-1，则2 S n = 1⨯2+2⨯22+3⨯23+…+（n-1）2n-1+n2n .两式相减。

得：- S n =1+21+22+…+2 n-1-n2 n =n nn 22121⋅---=2n (1-n)-1.S n =2n (n-1)+1.(3)1⨯2+2⨯3+3⨯4+…+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+ … +(n 2+n) =(12+22+32+ … +n 2)+(1+2+3+ … +n) =)1(21)12)(1(61++++n n n n n =)2)(1(31++n n n . (4) ∵)211(21)2(1+-=+n n n n∴)2(1421311+++⨯+⨯n n Λ =)211111151314121311(21+-++--++-+-+-n n n n Λ =)2111211(21+-+-+n n =)2)(1(3243+++-n n n .二、等差数列与等比数列1．定义：数列{a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d ⇔a n+1-a n =a n -a n-1；数列{b n }为等比数列⇔q a b n n =+1⇔11-+=n n n n b bb b 。

2．通项公式与前n 项和公式：数列{a n }为等差数列，则通项公式a n =a 1+(n-1)d, 前n项和S n =2)(1n a a n +=2)1(1dn n na -+. 数列{a n }为等比数列，则通项公式a n =a 1q n-1, 前n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=)1(1)1()1(11q qq a q na n .3．性质：（4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。

可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

例6 设S n 是等差数列{a n }的前n 项的和，已知31S 3与41S 4的等比中项为51S 5，31S 3与41S 4的等差中项为1，求等差数列{a n }的通项。

(1997年高考题) 解：设等差数列的公差为d,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅24131)51(4131432543S S S S S ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+⋅+2)64(41)23(31)105(251)64(41)23(31112111d a d a d a d a d a ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧==45121011a d a d 或，所以n a a n n 5125321-==或。

评说：当未知数与方程的个数相等时，可用解方程的方法求出这两类特殊数列的首项与公差或公比，然后再解决其他问题。

例7 设等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列{a n }的公比q (1996年高考题)。

解：若q=1，则S 3=3a 1,S 6=6a 1,S 9=9a 1, 由已知S 3+S 6=2S 9, 得：3a 1+6a 1=18a 1,解得：a 1=0，这与数列{a n }为等比数列矛盾，所以，q ≠1。

由已知S 3+S 6=2S 9, 得：qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131，整理得： 0)12(363=--q q q ，解得：243-=q 。

例8 在等差数列{a n }中，已知a 7=8，求S 13.分析：在这个问题中，未知数有两个：首项a 1与公差d ，但方程只有一个，因此不能象例6那样通过解方程解决问题，必须利用这两类数列的性质或者利用整体性思想来解决问题。

解：因为a 7=8，所以a 1+a 13=2a 7=16，故S 13=.1042)(13131=+a a例9 在等差数列{a n }中，已知a 1>0,S n 是它的前n 项的和.已知S 3=S 11，求S n 的最大值。

分析：和例8一样，也是未知数的个数多于方程的个数，所以须考虑等差数列的性质。

解：由已知：S 3=S 11，故.0132,551133111<-=+=+a d d a d a 得：而因为S 3=S 11，得a 4+a 5+a 6+…+a 10+a 11=0.由于a 4+a 11=a 5+a 10=a 6+a 9=a 7+a 8,所以a 7+a 8=0。

故a 7>0,a 8<0,所以 S 7最大。

评说：(1)本题也可以利用函数的思想来解，即把S n 表示成某一变量的函数（比如n ），然后再求这个函数的最大值。

(2)本题还可以利用方程与不等式的思想来解，即S n 最大当且仅当a n >0同时a n+1<0，解这个不等式组即可。

三、数列综合问题对于综合问题，要注意与其他数学知识相联系，如函数、方程、不等式，还要注意数学思想方法的应用，如归纳法、类比、叠加等。

例10 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，令b n =n S 1，且b 4=101，S 6-S 3=15,求数列{b n }的通项公式和∑=∞→ni i n b 1lim 的值。

分析：欲求b n ，需先求S n ，而S n 是数列{a n }的前n 项的和，所以应首先求出a n 。

因为数列{a n }是等差数列，故只要能找到关于a 1与d 的两个方程即可。