2．等比数列的概念： a n q ; a n1
3．an=(an－an-1)+( an-1－an-2)+…+( a2－a1)+a1；
4.anaann 1•a an n 1 2• •a a1 2•a1;
5．换元法，待定系数法．
二、例析
例1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+3,则{an}的通 项为_______．
3 an n3 an n 1 11 3,即 :3 an n3 an n 1 11 3.
3 an n 是a 以 311 6为首 ，公 项差 1 3为 的等差 .
3 an n1 6(n1) (1 3)1 21 3n.即
an
13n 2
n3n1.
例 5 . 已 a n 知 ,a 1 3 ,a n 数 4 a n 1 5 3 n 列 ,求 a n .
而 {an15 3n}是首 a1 项 1 53 为 4,8 公比 4 的等.比数列
a n 13 5 n 4 4 8 n 1 3 4 n 1
an 15 3n34n 1
说明2：解法１是在两边同除了bn后，再通过换元将 an=can-1+dbn化成了An=mAn-1+r的形式．此时就可以用 例３的各种解法求解了．
用观察的方法将an+1=4an+3变形成 an+1＋１=4(an+1), 是 一大难点，这个变形可以运用待定系数法来完成．
引伸：已知数列{an}的首项是a1, an+1=man+r (m1，r ≠0),则{an}的通项为_______．
解：设 an+1＋k=m(an+K),则 an+1=man+(m-1)K,
所以， an-an-1＝9×4n-2 所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)＋a1 ＝9×4n-2＋ 9×4n-３ ＋…＋ 9×40＋２
914n12134n1 14
解法４：同解法３得：an+2-an+1=4(an+1-an)．则
an2 an1 4,故 an1 an anan1a a nn 1 a an n 12•a an n 1 2 a an n 2 3• •a a3 2 a a2 1•(a2a1) 94n2,
例２.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an,则{an}的通 项为_______． 解法 :由n 1 1a3n a 得 :a a nn 13故 , 数列｛an｝是首项为２，公比为３的等比数列， 因此an=2×3n-1
解2法 :由 an13an得 :a a nn 13,故
ana a nn 1•a an n 1 2• •a a1 2•a123n 1
解法1：两边同除以3n得：
an 3n
4 3
an1 3n1
5.
令 3 an nA n,则A n 得 3 4A n 15.以 ( 下 3 的 用 方 )例
又 A n 令 k 3 4 (A n 1 k )则 ,A n 3 4 A n 1 1 3 k . 1 3 k 5 ,k 1.从 5 :而 A n 1 得 5 3 4 (A n 1 1)5 .
3得
:
an1
1
4(an
1),
an1 1 an 1
4,故
a n 1 a a n n 1 1 1 • a a n n 1 2 1 1 • • a a 1 2 1 1 • (a 1 1 ) 3 4 n 1
因此an+1=3×4n-1,即an=-1+3×4n-1
小结：待定系数法在变形转化中的作用
所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)＋a1 ＝9×4n-2＋ 9×4n-３ ＋…＋ 9×40＋２ 1 数 1 2 ,a n 3 列 a n 1 3 n 1 ,求 a n .
解：两边同除以3n得：
解法２，通过直接利用待定系数法将an=can-1+dbn 的形式化成了an＋kbn=c(an-1+kbn-1)形式的等比数 列．然后再进行求解．特别要注意“所要待定等式”左 右两边b的幂次方的差异．
而 {An1}5 是首A1项 15 为 a 3115 1,6 公比 3 4 的等比 . 数列
A n 1 5 1 ( 6 3 4 )n 1 ,A n 1 1 5 ( 6 3 4 )n 1 an3nAn3n(1516(3 4)n1) 153n34n1
解法2： 令 a n k3 n 4 (a n 1 k3 n 1 )则 , a n4 a n 1k 33 n,从而 k 35 ,k 得 1.5 a n 13 5 n 4 (a n 1 13 5 n 1 )则 ,
2010届高考数学二轮 复习系列课件
15《等差数列、 等比数列》
an1mna f(n)
考试背景
递推列： an1mna f(n)
在０６－０８年的高考中，历年都有涉及， 如（不完全统计）： ０６年：全国理Ⅰ，福建； ０７年：全国理Ⅰ，理Ⅱ； ０８年：全国理Ⅱ．
一、基础知识
1．等差数列的概念：an+1-an=d
例３.已知数列{an}中,a1=2, an+1=4an+3,则{an}的 通项为_______．
解法１：由an+1=4an+3得, an+1＋１=4(an+1),故
数列｛an＋１｝是首项为a1+1=3，公比为4的等比数列，
因此an+1=3×4n-1,即an=-1+3×4n-1
解法2:由an1
4an
因此,(m-1)k=r,故 k r m 1
由 a n 1 此 m n r 将 变 a a 形 n 1 m r 1 成 m ( a n 了 m r 1 ) 这样就可以运用解法1和解法2的方法了（下解略）．
解法３：由 an+1=4an+3
an+２=4an+1+3
②
①得
②-①得：an+2-an+1=4(an+1-an)．则数列｛an+1-an｝是 首项为a２ -a１ ＝(４ a１＋３)-a１＝ ３ a１+3=9，公比 为４的等比数列．
解法１：由an+1=an+3得an+1－an＝3，故数列｛an｝ 是首项为２，公差为３的等差数列，因此，由通项 公式得：an=2+(n-1)×３＝3n-1．
解法２：由an+1=an+3得an+1－an＝3，故 an=(an－an-1)+( an-1－an-2)+…+( a2－a1)+a1 ＝3(n-1)+2=3n-1．