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高中数学竞赛模拟试卷
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
评卷
复核
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分）

1．计算：0!1!2!100!i+i+i++i ．（i表示虚数单位）
2．设是某三角形的最大内角，且满足sin8sin2，则可能值构成的集合
是 ．（用列举法表示）
3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的
复数和都相等，则x表示的复数是 ．

4．如图，正四面体ABCD的棱长为6cm，在棱AB、CD上各有一点E、F，若1AEcm，
2CFcm，则线段EF
的长为 cm．

5．若关于x的方程4(3)250xxa至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a的取值
范围为 ．
6．a、b、c、d、e是从集合1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcde为
奇数的概率为 ．
7．对任意实数x、y，函数()fx满足()()()1fxfyfxyxy，若(1)1f，则

对负整数n，()fn的表达式 ．
8．实数x、y、z满足0xyz，且2221xyz，记m为2x、2y、2z中最大者，
则m的最小值为 ．
二、（本题满分14分）

设2()fxaxbx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正数b，使()fx的
定义域和值域相同．

i
x
1

A

B
C
F
D

E
2

三、（本题满分14分）
已知双曲线22221xyab（a、b+R）的半焦距为c，且2bac．,PQ是双曲线上
任意两点，M为PQ的中点，当PQ与OM的斜率PQk、OMk都存在时，求PQOMkk的值．

四、（本题满分16分）
设x表示不超过实数x的最大整数．求集合2|,12004,2005knnkkN的
元素个数．

五、（本题满分16分）
数列nf的通项公式为11515225nnnf，n+Z．

记1212C+C+CnnnnnnSfff，求所有的正整数n，使得nS能被8整除．