第十六章二次根式
16．1二次根式
【课标要求】
1、理解二次根式的概念；
2、掌握二次根式有意义的条件；
3、会运用二次根式的两个性质进行化简计算
【核心扫描】
1、理解二次根式的概念及有意义的条件，并利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题(重点)
2
、掌握二次根式的两个性质：(
)
2
a a a
=≥=，并会利用二次根式的性质解题．(难点)
自主学习
一、知识链接
1、叫作平方根。

2、叫作算术平方根，数有算术平方根。

二、知识点回顾
1
)0
a____的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.
2、二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.
3、二次根式的性质：
性质1
(0)
a a≥；性质2
：2(0)
a a
=≥；
性质3
（0
a≥，0
b≥）；性质4
=
（0
a≥，0
b>）．
4
与a
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
．
精讲精练
1
知识点1、二次根式的意义及有意义的条件
例1、（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
1
x
x>）
，
1
x y
+
0,0
x y
≥≥）．（2）设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？
变式1、设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？
（1
（2
．
变式2、设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？
（1
；（2
知识点2、二次根式的双重非负性
例2、已知实数a，b
(0
b-，求20032003
a b
+的值．
变式1
2
344
b c c
+++=-，求()c
a
b
的值．
变式2
x、y的值是．
变式3、若z
，求z的值．变式4、已知实数a
满足2015a a
-+，求2
2015
a-的值．
2
3 知识点3、二次根式的性质
[
()2
0a a =≥
与
()2
0a ≥]
例3、计算下列各式的值：
（1
）2 （2
）2 （3
）2
（4
）22-
变式1、若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）
A 、x 为任意实数
B 、1≤x ≤4
C 、x ≥1
D 、x ≤4 变式2、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 变式3、当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。

变式4、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。

A 、0=a
B 、1=a
C 、0=a 或1
D 、1≤a 变式5、化简2
1)2(---x x 的结果为（ ）
A 、x -2
B 、2-x
C 、2--x
D 、x --2
变式6、(1)已知a
.
(2)已知a
.
知识点4、二次根式的简单计算与化简
例14、化简：
（1
（2
0)m ≥
（3
）
（4
变式1
的值，其中x =
变式2
、化简：2
变式3
成立，求x 的取值范围．
变式4、在△ABC中，a b c
、、
2|| c a b
－－
变式5
、已知：a b
+
，a b
-ab的值
变式6
a，小数部分是b，求2a b
-的值
课堂小结
当堂检测
A组
1、求使下列各式有意义的字母的取值范围：
（1（2（3
（4；（5（6．
4
5 2、计算：
（1
）2(1.5)- （2）2(3)a -a <（３）
（3）
2(23)x -3
2
x <（）
3、解下列各式：
（1）已知0a a +=
（2）a b c 、、
4、已知125x x --，求x 的取值范围．
5、已知3y ，求22x xy y -+的值．
60=，求xy 的值．
7、m
.
8
、已知2440
y y
++=，则xy的值等于．
9
、把a移入根号内的结果是
10、x y z
、、满足关系式：
x y z
、、的值
6
B组
1
2
31
a
a+
有意义，则a应满足（）
A、1
a≤且
1
3
a≠-B、1
a≤C、
1
3
a≠-D、1
a≤且
1
3
a≠
2
m的最小值是________ __．
3
、把(m-根号外的因式移到根号内，得
4
2
96x x
=-，求x的值．
5、若a、b
是实数，且
1
3
b
31
b-
6
2成立，求a的取值范围．
7
、已知1
y+
7
8
8、已知x y 、
是实数，且y =
．
课后练习
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．在下列式子： ， ， ， ， ， ， ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A. x≤2 B. x≥2 C. x ＜2 D. x≠2 3
的被开方数相同的二次根式是( )
A.
B.
C.
D. 4．下列计算正确的是( )
A.
a B.
＝a －2
)2＝±6
)2＝x ＋y
5．实数a 在数轴上的位置如图所示，则 + 化简后为（ ）
A. 7
B. ﹣7
C. 2a ﹣15
D. 无法确定
620y +-=，则()
2017
x y +的值为（ ）
A. -1
B. 1
C. ±1
D. 0
7．化简x，正确的是（）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
二、填空题
8
＝)2成立，则字母x的取值范围是__ __．
9．计算：|－3|＝__ __；
＝__ __
．
10
=_____．
11．已知正实数a，满足a﹣=，则a+=_____．
12．当x＝____时，函数y＝＋6有最小值，最小值为____．
三、解答题
13．已知实数a满足＋＝a，求a－19992的值．
14．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义．
(1)－； (2)
9
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简
10
11。