二次根式定义及性质教学内容:1.学习目标:理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进行计算和化简.2.重点:;,及其运用.3.难点:利用,,解决具体问题.知识点一:二次根式的概念一般地,我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.知识点二:二次根式的性质1.;2.;3.;4. 积的算术平方根的性质:;5. 商的算术平方根的性质:.知识点三:代数式形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).经典例题透析类型一:二次根式的概念例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0);不是二次根式的有:、、、.例2、当x是多少时,在实数范围内有意义?思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,•才能有意义.解:由3x-1≥0,得:x≥当x≥时,在实数范围内有意义.总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.举一反三【变式1】x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义?(1); (2);解:(1)由≥0,解得:x取任意实数∴当x取任意实数时,二次根式在实数范围内都有意义.(2)由x-1≥0,且x-1≠0,解得:x>1∴当x>1时,二次根式在实数范围内都有意义.【变式2】当x是多少时,+在实数范围内有意义?思路点拨:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0.解:依题意,得由①得:x≥-由②得:x≠-1当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.类型二:二次根式的性质例1、计算:(1)(2)(3)(4)(5)(b≥0) (6)思路点拨:我们可以直接利用(a≥0)的结论解题.解:(1) (2)=;(3);(4)=;(5);(6).举一反三【变式1】计算:(1);(2);(3);(4).思路点拨:(1)因为x≥0,所以x+1>0; (2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0;(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0.所以上面的4题都可以运用的重要结论解题.解:(1)因为x≥0,所以x+1>0;(2)∵a2≥0,∴;(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0,∴=a2+2a+1;(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0,∴=4x2-12x+9.例2、化简:(1); (2); (3); (4).思路点拨:因为(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用去化简.解:(1)==3;(2)==4;(3)==5;(4)==3.例3、填空:当a≥0时,=____;当a<0时,=______,•并根据这一性质回答下列问题.(1)若=a,则a可以是什么数?(2)若=-a,则a可以是什么数?(3)>a,则a可以是什么数?思路点拨:∵=a(a≥0),∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“( )2”中的数是正数,因为,当a≤0时,=,那么-a≥0.(1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2)可知,而要大于a,只有什么时候才能保证呢?解:(1)因为,所以a≥0;(2)因为,所以a≤0;(3)因为当a≥0时,要使,即使a>a所以a不存在;当a<0时,,要使,即使-a>a,即a<0;综上,a<0.类型三:二次根式性质的应用例1、当x=-4时,求二次根式的值.思路点拨:二次根式也是一种代数式,求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解:将x=-4代入二次根式,得=.例2、(1)已知y=++5,求的值.(2)若+=0,求的值.解:(1)由可得,,(2)例3、在实数范围内分解因式:(1)x2-5; (2)x3-2x;解:(1)原式.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列式子中,不是二次根式的是( )A.B.C. D.2.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是( )A.5 B.C.D.以上皆不对3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为( )A.x>0 B.x≥0 C.x ≠ 0 D.x≥0且x ≠ 14.的值是( )A.0 B.C.4 D.以上都不对5.a≥0时,、、,比较它们的结果,下面四个选项中正确的是( ) A.B.C.D.6.(辽宁省大连市) 如图,数轴上点N表示的数可能是( )A.B.C.D.二、填空题1.若,则 x = ____________.2.若有意义,则的取值范围是____________.3.-=________.4.=____________.5.=____________.6.若,则____________.7.若,则____________;若,则____________.8.化简:=__________.9. 计算:(1)=_______;(2)=________;(3) =________。
10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图,在数轴上,A、B两点之间表示整数的点有_______个.三、解答题1. 求下列二次根式中字母a的取值范围:(1), (2); (3).2.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,•底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?能力提升一、选择题1.使式子有意义的未知数x有( )个A.0 B.1 C.2 D.无数2.(山西省临汾市) 若,则与3的大小关系是( )A.B.C.D.3.下列计算正确的是( )A.B. C.D.4.(福建省厦门市) 下列四个结论中,正确的是( )A. B. C. D.二、填空题1.若,则____________.2.若是一个正整数,则正整数m的最小值是________.3.已知实数在数轴上的对应点如图所示,则____________.三、解答题1.当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?2.若+有意义,求的值.3.(北京市海淀区) 已知实数x,y满足,求代数式的值.4.已知,求x+y的值.综合探究1.(福建省南安市) 观察分析下列数据,寻找规律:0,,,3,2,,3,……那么第10个数据应是____________.2.(江苏省苏州市)等式中的括号应填入____________.3.先化简再求值:当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.4. 若时,试化简.5.在实数范围内分解下列因式:(1); (2).二次根式定义及性质测试题一、复习1、什么叫平方根?开平方?2、平方根如何表示?3、求下列各数的平方根:4、求下列各数的正平方根:(1)4;(2)0.16;(3)925. (1)225; (2)0.0001;(3)1681.二、二次根式的意义1. 二次根式的意义代数式______________叫做二次根式,读作______________,其中__________是被开方数. 通常把形如_________________的式子也叫做二次根式.2.二次根式何时有意义二次根式有意义的条件是___________________________.3. 例题例题1 下列各式是二次根式吗?2、32、2-、 12+a 、)0(<b b .例题2 设x 是实数,当x 满足什么条件时,下列各式有意义?(1)12-x ; (2)x -2; (3)x1; (4)21x +.4.练习(一)设x 是实数,当x 满足什么条件时,下列各式有意义?(1; (2; (3三、二次根式的性质性质1:______________________; 性质2:________________________________;性质3:______________________; 性质4:________________________________.例题3 求下列二次根式的值:(1)2)3(π-; (2)122+-x x ,其中3-=x .例题4 化简二次根式(1;(2;(3)0x ≥;(4;(5(60)b >例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长,化简:22)()(a c b c b a --++-练习(二):1、化简下列二次根式(1(20)x ≥; (30)n ≥;(4(5; (6)2、选择题(1)、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图,则=---22)1()1(a b ( ) A 、b-a B 、2-a-b C 、a-b D 、2+a-b(2)、化简2)21(-的结果是( )A 、21-B 、12-C 、)12(-±D 、)21(-± (3)、如果2121--=--x x x x ,那么x 的取值范围是( ) A 、1≤x ≤2 B 、1<x ≤2 C 、x ≥2 D 、x >2最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件:(1)_________________________________________________;(2)_________________________________________________.例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式:· · · · a b 0 1(1;(2(3;(41)a ≥-例题7 将下列二次根式化成最简二次根式:(1)0y >;(2)0≥≥;(3)0m n >>2、练习(三) (1)判断下列二次根式中,哪些是最简二次根式:(2)找出下列二次根式中的非最简二次根式,并把它们化成最简二次根式:)0a y > (3)将下列各二次根式化成最简二次根式:)0b x y p q >>>3、同类二次根式几个二次根式化成_____________________后,如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.例题8 下列二次根式中,哪些是同类二次根式?)0a a >例题9 合并下列各式中的同类二次根式:(1)323132122++-; (2)xy b xy a xy +-34、练习(四)(1)判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式:)0;x ≥)0a y >>(2)合并下列各式中的同类二次根式:A.-B.。