第四章 气体动理论一、基本要求1．理解平衡态的概念。

2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。

3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。

4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。

5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。

6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。

二、基本内容1. 平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。

2. 理想气体状态方程在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式pV vRT =或 n k T p =式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量118.31R J mol K --=⋅⋅，k 为玻尔兹曼常量2311.3810k J K --=⨯⋅3. 理想气体压强的微观公式21233t p nm n ε==v4. 温度及其微观统计意义温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上32t kT ε=5. 能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2kT 。

以i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为2t i kT ε=6. 速率分布函数()dNf Nd =v v麦克斯韦速率分布函数232/22()4()2m kT m f e kTππ-=v v v7. 三种速率最概然速率p ==v 平均速率==≈v 方均根速率==≈8. 玻尔兹曼分布律平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。

重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：kT m gh e n n /0-=9. 范德瓦尔斯方程采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体RT b V V ap m m=-+))((2 10. 气体分子的平均自由程λ==11. 输运过程 内摩擦dS dz du df z 0)(η-=， 1133mn ηλρλ==v v 热传导dSdt dz dT dQ z 0)(κ-=13v c κρλ=v 扩散dSdt dz d D dM z 0)(ρ-=13D λ=v三、习题选解4-1一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。

它是否是一个平衡态？为什么？答：这不是一个热力学平衡态。

平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。

所谓的没有外界影响，指外界对系统既不做功又不传热。

两端分别与冰水混和物和沸水接触的铜棒，在和沸水接触的一端，铜棒不断吸收热量，而在和冰水混合物接触的一端，铜棒不断的释放热量。

铜棒和外界以传热的方式进行能量交换，因而它不是一个热力学平衡态。

4-2在一个容积为310dm 的容器中贮有氢气，当温度为7C 时，压强为50atm 。

由于容器漏气，当温度升为17C ，压强仍为50atm ，求漏掉氢气的质量。

解：设7C 时的参量为111,,T n P ；17C时的参量为222,,T n P因21P P =，由理想气体的状态方程nkT P =得2211kT n kT n =代入K T K T 290,28021==得036.11221==T T n n再由111kT n P =，得 32723511110311.12801038.110013.150--⨯=⨯⨯⨯⨯=m kT P n 同理可得 327210265.1-⨯=m n将氢分子质量2H m 与n 相乘，可得不同温度下容器内氢气的密度3272711353.41066.1210311.12--⋅≈⨯⨯⨯⨯==m kg m n H ρ3272722200.41066.1210265.12--⋅≈⨯⨯⨯⨯==m kg m n H ρ漏掉氢气的质量()23120.153110 1.5310m V kg ρρ--∆=-=⨯⨯=⨯4-3 如图所示，两个相同的容器装着氢 气，以一光滑水平玻璃管相连，管中用一滴水 银做活塞，当左边容器的温度为0C ，而右边 容器的温度为20C时，水银滴刚好在管中央维持平衡。

试问： 题4-3图 （1）当右边容器的温度由0C 升到10C 时，水银是否会移动？怎样移动？ （2）如果左边温度升到10C ，而右边升到30C ，水银滴是否会移动？ （3）如果要使水银滴在温度变化时不移动，则左右两边容器的温度变化应遵从什么规律？解：（1）可假设水银柱不移动，这样左边容器从C 0升到C 10时，压强会增大，所以水银将向右侧移动。

（2）同样假设水银滴不移动，左右两侧体积不变。

以0p 表示左右两侧未升温前的压强，1p 表示升温后左侧压强，2p 表示升温后右侧压强，则0127310273p p +=022027330273p p ++= 可以看出 21p p >水银滴左侧的压强大于右侧的压强，水银滴将向右侧移动。

（3）依条件27301p T p =左29320273002p p T p =+=右 由21p p =293273=右左T T 4-4 对一定量的气体来说，当温度不变时，气体压强随体积的减小而增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。

从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观来看它们有何区别？解：从分子运动论的观点来看，气体作用在器壁上的压强决定于单位体积内的分子数和每个分子的平均平动动能的乘积，或者说，是大量气体分子与器壁频繁进行动量交换的结果。

用公式表示就是221()32p n m =v 当温度不变时，每个分子的平均平动动能没有发生改变，但体积的减少会使单位体积内的分子数增加，即分子数密度n 增大。

或者说，气体分子与器壁进行的动量交换更加频繁，这样就使容器气体压强增大。

当体积不变时，随着温度的升高，每个分子的平均平动动能增加，即气体分子每次碰撞时与器壁交换的动量数值增加。

所以也会使气体压强增大。

从微观上看，它们的图像是不一样的。

4-5 每秒钟有231.010⨯个氢分子（质量为273.310kg -⨯）以311.010m s -⨯⋅的速度沿着与器壁法线成45 角的方向撞在面积为422.010m -⨯的器壁上，求氢分子作用在器壁上的压强。

解：如图所示与器壁碰撞后，每一个分 子的动量改变为2cos 45m v每秒总的动量改变为 2c o s 45nmv 压强2cos 45nm p A=v题4-5图2327342 1.010 3.310 1.01022.010--⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯32.310Pa =⨯4-6道耳顿(Dalton’s Law)定律指出，当不起化学作用的气体在一容器中混合时，在给定温度下每一成分气体所作用的压强和该气体单独充满整个容器时的压强相同；并且总压强等于各成分气体的分压强之和。

试根据气体动理论并利用式（4.5）导出道耳顿定律。

解：气体动理论给出的压强公式为221212()3323p nm n m n ε===v v设几种气体混合贮在同一容器中，单位体积内所含各种气体的分子数分别为12,,n n ，则单位体积内混合气体的总分子数为12n n n =++又混合气体的温度相同，根据能量均分定理，不同成份的气体分子平均动能相等，即 1232kT εεε====混合气体的压强为 122()3p n n ε=++11222233n n εε=++ 12p p =++其中 kT n kT n n p 1111233232===ε kT n kT n n p 2222233232===ε12,,p p 即每一成分气体单独充满整个容器时的压强，并且总压强等于各成分气体的压强之和，这就是道耳顿分压定律。

4-7 （1）具有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对其进行加热，使它的温度27C 升到177C ，体积减小一半，求气体压强变化多少？ （2）此时气体分子的平均平动动能变化多少？分子的方均根速率变化多少？解：（1）由理想气体状态方程111222T V p T V p =1221V V =127327300T K =+= 2273177450T K =+=有 1112211233004502p p T T V V p p =⨯⋅=⋅⋅= （2）由题意 1123kT =ε2223kT =ε 1112125.1300450εεεε=⨯==T T 温度为1T 时，方均根速率为1=温度为2T 时，方均根速率为2=所以1.22=== 4-8（1）试计算在什么温度时氢分子的方均根速率等于从地球表面逃逸的速率。

对氧分子作同样的计算。

（2）试问在月球表面上，计算结果是否相同，假设月球表面的重力加速度为0.16g 。

（3）在地球的上层大气中，温度约为1000K 左右。

你认为该处是否有很多氢气？有很多氧气？解：（1）第二宇宙速率131211.211.210km s m s --=⋅=⨯⋅v。

分子的方均根速率=23210H M kg -=⨯。

2=v 。

22323242210(11.210) 1.010338.31H H M T K R -⨯==⨯⨯=⨯⨯v 氧分子摩尔质量为 233210O M k g-=⨯ 有 223232523210(11.210) 1.610338.31O O M T K R -⨯==⨯⨯=⨯⨯v（2）月球表面逃逸速率1s -==⋅v 312.3810m s -=⨯⋅有 23322210(2.3810)4.51038.31H T K -⨯=⨯⨯=⨯⨯ 233233210(2.3810)7.21038.31O T K -⨯=⨯⨯=⨯⨯（3）地球大气层中，不会有很多氢气，会有较多氧气。

4-9 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即2221H O H +O 2→，当不计振动自由度时，求此过程中内能增加的百分比。

解：设初始水蒸气的分子总数为0N 。

由2221H O H +O 2→分解后将有0N 个2H 分子和2N 个2O 分子。

刚性双原子分子可用三个平动自由度(3=t )，和两个转动自由度(2=r )完整的描述其运动，刚性三原子分子则需要用三个平动自由度(3=t )和三个转动自由度(3=r )描述其运动。

由能量均分原理知一个分子的平均能量为kT r t )(21+=ε温度为T 时水蒸气的总能量为kT N kT N E 0003)33(21=+= 若分解为氢气和氧气后，气体温度值为T ，这时气体总能量为氢分子能量和氧分子能量之和，用E '表示有kT N kT N kT N E 000415)23(212)23(21=+++=' 能量增加的百分比为%25413341500000==-=-'kT N kTN kT N E E E4-10一个能量为1210eV 的宇宙射线粒子，射入氖管中，氖管中0.01mol ，如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变成热运动能量，氖气温度能升高几度？解：0.01mol 氖气共有A N 01.0个原子，其中A N 为阿伏加德罗常数。