《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分）
1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n
m n
a
a
+= B ．1
1m
m
a
a =
C ．log log log ()a a a m n m n ÷=-
D 43
()
mn =
2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( )
A ．(1,2)
B ．(2,2)
C ．(2,3)
D ．2(,2)3
3．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,
2
，则(4)f 的值为
（ ）
A ．1
B ．
2 C ．1
2
D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．
12
2lg x
x x
>> B ．
12
2lg x
x x
>> C ．12
2lg x x x >>
D ．12lg 2x x x >>
5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ）
A ．
(3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5)
D ．
(,2)(5,)-∞+∞
6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年
后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ）
A ．减少1.99%
B ．增加1.99%
C ．减少4%
D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b +=
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 函数()lg(101)2
x x f x =+-是 （ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇且偶函数
D ．非奇非偶函数
9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ）
A ．(1,)+∞
B ．(2,)+∞
C ．(,1)-∞
D ．(,0)-∞
10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ）
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．[2,)+∞
二．填空题．(每小题5分，共25分)
11．计算：459log 27log 8log 625⨯⨯= ． 12．已知函数3log (0)()2(0)
x
x x >f x x ⎧=⎨≤⎩，
， ,则1[()]3
f f = ．
13．
若
3())2
f x a x bx =++，且
(2)5
f =，则
(2)f -=
．
14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3
倍，则a = ．
15．已知01a <<，给出下列四个关于自变量x 的函数： ①log x y a =，②2
log a y x =， ③3
1(log )a y x = ④12
1(log )a
y x =．
其中在定义域内是增函数的有 ． 三．解答题（6小题，共75分） 16．(12分)计算下列各式的值：
（Ⅰ
）41
6
0.253
216(22)4()849
-+-⨯-．
（Ⅱ
）21log 32393ln(log (log 81)2log log 125
43
++++
-
17．（ 12分）已知函数方程2840x x -+=的两根为1x 、2x （12x x <）． （Ⅰ）求2212x x ---的值；
（Ⅱ）求1
12
2
12
x x --
-的值．
18．(共12分)（Ⅰ）解不等式2121()x x a a
-->
(01)a a >≠且．
（Ⅱ）设集合2{|log (2)2}S x x =+≤，集合1{|(
)1,2}2
x
T y y x ==-≥-求S T ，S T
．
19．（ 12分） 设函数
421
()log 1
x x f x x x -⎧<=⎨
≥⎩． （Ⅰ）求方程1()4
f x =的解．
（Ⅱ）求不等式()2f x ≤的解集．
20．（ 13分）设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅的定义域为1
[,4]4
, （Ⅰ）若x t 2log =,求t 的取值范围； （Ⅱ）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．
参考答案 一．选择题
二．填空题．
11． 9 ． 12． 1
2
． 13． 1．
14． 4
． 15． ③
，
④．
三．解答题：
16．（Ⅰ）． 解：原式427272101=⨯+--=．
（Ⅱ）解：原式33log (425)3
315
2232232112
22log ()25
⨯=++⨯+
=++⨯-=⨯． 17．
解：由条件得：14
x =-
24
x =+．
（Ⅰ）2212211221
21
2
12()()
1111()()()
x x x x x x x x x x x x --+--=+-===．
（Ⅱ）112
2
121x x -
-
-=
=
=． 18．解：（Ⅰ）原不等式可化为：212x x a a -->．
当1a >时，2121x x x ->-⇔>．原不等式解集为(1,)+∞． 当1a >时，2121x x x -<-⇔<．原不等式解集为(,1)-∞． （
Ⅱ
）
由
题
设
得
：
{|024}(2,2]S x x =<+≤=-,21
{|1()1}(1,3]2
T y y -=-<≤-=-．
∴(1,2]S T =-， (2,3]S T =-．
19．解：（Ⅰ）
1
1()1424x x f x -<⎧⎪
=⇔⎨=⎪⎩
（无解）或411log 4
x x x ≥⎧⎪⇔=⎨=⎪⎩ ∴方程1()4
f x =
的解为x =
（Ⅱ）
1()222x x f x -<⎧≤⇔⎨≤⎩或41
log 2x x ≥⎧⎨≤⎩11x x <⎧⇔⎨≥-⎩
或116x x ≥⎧⎨
≤⎩． 11x ⇔-≤<或116x ≤≤即116x -≤≤．
∴不等式()2f x ≤的解集为：[1,16]-． 20．解：（Ⅰ）t 的取值范围为区间2
21
[log ,log 4][2,2]4
=-． （Ⅱ）记22()(log 2)(log 1)(2)(1)()(22)y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤．
∵231()()24
y g t t ==+
-在区间3[2,]2--是减函数，
在区间3
[,2]2-是增函数
∴当
23
log 2
t x ==-
即
3
2
2
4
x -
==
时，
()
y f x =有最小
值
31()24
f g =-=-； 当2log 2t x ==即224x ==时，()y f x =
有最大值(4)(2)12f g ==．
21．解：（Ⅰ）∵()f x 是奇函数，所以1(0)014
b
f b -==⇔=(经检验符合题设) ．
（Ⅱ）由（1）知21
()2(21)
x x f x -=-+．对12,x x R ∀∈，当12x x <时，
总有
2112220,(21)(21)0x x x x ->++>
．
∴
1221
1212
1212121122()()()0221212(21)(21)
x x x x x x x x f x f x ----=-⋅-=⋅>++++， ∴12()()f x f x >
．
∴函数()f x 在R 上是减函数．
（Ⅲ）∵函数()f x 是奇函数且在R 上是减函数，
∴22222(2)(2)0(2)(2)(2)f t t f t k f t t f t k f k t -+-<⇔-<--=-．
222211
22323()33t t k t k t t t ⇔->-⇔<-=--．（*） 对于t R ∀∈（*）成立1
3k ⇔<-．
∴k 的取值范围是1
(,)3
-∞-．。