第1-3章：消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）*二、效用函数存在性证明。
请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。
考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为p1（2, 4）时，其需求为x1（1，2）。
当价格为p2（6，3）时，其需求为x2（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
如果x2（1.4, 1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
解答：p1x1 2*1 4*2 10 p1x2 2*2 4* 1 8消费束1偏好于消费束2p2x16* 1 3*2 12 p2x26* 2 3*1 15消费束2偏好于消费束1违反了显示性偏好弱公理。
如果x2（1.4，1）时：p1x12* 1 4* 2 10 p1x22* 1.4 4* 1 6.8 消费束1 偏好于消费束2p2x16* 1 3* 2 12 p2x26*1.4 3* 1 11.4消费束1在价格2的情况下买不起。
符合显示性偏好弱公理。
四、效用函数u（x1,x2） x1，求瓦尔拉斯需求函数解答：maxu（X1,X2） X1 s.t.P1X1 P2X2 w 从效用函数u（x「X2） X1 可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，X2 0，X1 —P1或者由max u(x1,x2) x1 s.t. p1x1p2x2 w，可得到max u（x1 ,x2） max —P2X2—，此时x2 0, X t —（源于消费束的非负限制）P i P i P i实际上，这是一个边角解，1五、设效用函数U（x i, x2）（x i x2 ），其中0 1；这就是常（或不变）替代弹性（CES）效用函数。
求：（1）瓦尔拉斯需求函数；（2）间接效用函数；（3）验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的；（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的；（5）验证罗伊恒等式；（6）求希克斯需求函数；（7）求支出函数；（8）从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。
（9）验证h i（p,u） X i（p,e（p,u））（对偶定理）（1）求瓦尔拉斯需求函数列出拉格朗日函数：2 / 11L（X i,X2, ）（X i X2）（y P i X i P2X2）三个一阶条件：整理，得：x i X 2(P)i( i}P 2； y P i X i P 2X 2求解，得：i ( i) P i (*P i 丿 P 2上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。
如果定义r ( 。
,便可将瓦尔拉斯 需求函数化简为:r P iyX i (P,y)= 7 X 2(p,y) P i P 2 •7(2) 求间接效用函数将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数，可得间接效用函数：v(P,y) [(X i (P,y))(X 2(p,y))]r i r[(p i y )( p2 y ) fr rrrr r irP i P 2 P i P 2y(P i P 2)(3) 验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性；v(tp,ty) ty((tp i )r (tp 2)r ) ir y(p ； p ；)irv(p,y)(4) 验证间接效用函数关于收入 y 是递增的，关于价格p 是递减的，对它求关 于收入与任何价格的微分，得：L X i(X i(i )iX i(X iX 2)(i )iX 2y P i X ip 2x 2 0i)X ir P 2 yr r PiP 2X2i)y P 2/(皿(P； P2)ir0yV(p, y) r r ( 1 r) 1 r 1(P i P2) yP i 0,i 1,2P i(5)验证罗伊等式：间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导，别忘了乘-1!(1)rv(p,y) P i] ( 1) (P；P2)( 1 r)；yP i r 1(l)[ ] (；r r、1 rV(P,y) y (P I P2)r 1X i(p, y),i 1,2P i P2(6)求解支出最小化问题令r(1)，可解出希克斯需求函数: h i(p,u) u(p；p2)(1/r) 1P；1 minX i ,X2P i X i P2X2s.t. u (x i x2) 0其拉格朗日函数为:L(X I，X2，)三个一阶条件为:P i X i P2X2 [u (X i X2)] P i (X i \(1/ ) 1X2 ) X iX2P2 X2)(1/ )1X iu (X；X2)1/0通过消去，这些式子被简化为:X i 1)；u7(X I X2) 1/h2(p,u) u(p i r p；)(1/r)1p；1（7）将希克斯需求函数代入目标函数，可得支出函数:e（p,u） P i h i（p,u） p；h；（p,u）r r （1/r） 1 r 1 r r （1/r） 1 r 1 . r r、1/r UP i（P i p；）P1 up；（P1 p；）p；U（P1 p；）（8）从间接效用函数推导出支出函数间接效用函数为：v（p, y）y（p1 p；）将v（p, y）替换为u，解出yu y（p；p；）1/r；y u（p；p；）1/r再将y替换为e（p, u），得到支出函数为：e（p,u） u（p；p；）1/r从支出函数推导出间接效用函数支出函数为：e（p，u） u（p r p；）1/r将u替换为v（p,y），将e（p,u）替换为y，解出V（p,y）。
y v（p，y）（Pi r p；）1/r v（p，y） y（p；p；）1/r（9）瓦尔拉斯需求函数为:xdp, y)r 1P1 yr rP1 p；，将y替换为支出函数得：M P, y)r 1 r 1 r r 1/r P1 e(p,u) P1 u(p1 p；) r r r rP1 p；P1 p；P；1u（p| p；）（1/r） 1 hgu）1 六、效用函数u（x1,x；）（x1X；），对其求1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；2、希克斯需求函数，支出函数。
答案：wp 2 1 w，v( P 1, P 2 , w)P1 1 P2 1(P 1「 P 2「)七、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化 描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。
请参考教材 * 八、证明对偶原理中的 1.x （P ，w ） h ［p ，v（p ，w）］2.h （p ,u ）Xp,e （p ，u ）］请参考教材假定｛p，w °｝。
证明：如果X 是一个凸集，则Bp ，w 也是凸集。
答案： 设 X B p,w ，X Bp,w ，[0,1].令X = :X+(1-) X ' ,因为X 是—「个凸集，所以x '' X故P? ''=(p?<)+ (1-)(PA <w+ (1-)w=w因此， 11X B p,w・十、效用函数U （X 1,X 2） X 1X 2，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应 和总效应。
答案：推导斯拉茨基方程需要以下函数： （1）瓦尔拉斯需求函数：（过程省略）w ； wX 1X22P 12p 21、 X iwp 1 1,X 2P 1「 P 2~2、h 11UP 1「h 21UP 2-,e(P,u)(P 1 1 P 2 1)(P 1 1P 2 1)u1(P 厂 P 2~')九、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集X : B p,w {x X : p x w}。
(4)验证第一种商品的斯拉茨基方程: 第一步：计算收入效应Wx 至丄，x 鼻 1 w w w w 2 P i w 2 P 1 2 P 1 4 P 2第二步：计算替代效应(把U 替换为间接效用函数)/2 3/22 U P 2P i w 2 ，得到： 4 P i P 2wx i 2 p i w2P iP i2 P i第四步：验证总效应=替代效应+收入效应X iwh i w ， 2 Xi4P iX i wP i2P i2P iw 4 p ；显然X ih i XiXiP iP iwi十^一、效用函数U(X i ,X 2)(X iX 2 )，求其货币度量的直接和间接效用函数ii答案：w(p,x) (X i X 2 ) g —iP 2_ )ii(P ； q,w) (P I -1 P 2~) (q 厂 q 2_i ) w、 ]i io o i i十二、效用函数 u(X i ,X 2) X i X 2，当 P i2, P 2 3, w 40， P i 4, P 2 5，(2)间接效用函数：v(p, W )2W 4p i P 2⑶希克斯需求函数：g UP2 ；P lh2UPlP 2,iup 2， h iP iP i代入u v (P,w)h i P i2 2p ；/2i/2 P2i/2 3/2P2P iw 4p；计算总效应求其等价变化和补偿变化。
答案：为了计算等价变化和补偿变化需要:支出函数：e(p ,u) 2 uP i P 21 •先求等价变化:2.补偿变化:十三、分析福利分析在税收方面的应用 请参考教材十四、u(x,X 2) X 1X 2，假定P 1 0.25， P 2 1， w 2，对商品1开征消费税0.25元。
求开征消费税的无谓损失(包括两种情况)。
I解答：max u(X !,x 2)... x^2S.t. X 1P 1 X 2 P 2 wv(p,w)间接效用函数：2w 4P 1P 2“老价格, 新效用，计算支出函数” 老价格为:0 0 P12, P 23V (p,w)新效用为:2w 4 P 11 P 11 4 4 16°°- 205e( p,u) 2 upfp 02 20 234 30则等价变化为EV4 30 40“新价格，老效用, 计算支出函数”v( p,w)老效用：2w4 p-j 0 p 0 4 2 31600 200 3---- 1 1 e( p, u) 2 up 1 P22004 540 10— 3补偿变化为：EV10 40 40\ 31 •求瓦尔拉斯需求函数(1)建立拉格朗日函数 L 、X 1X 2 (w- -P 1X 1 - P 2X 2)(2)求极值一阶条件L 11 1 0 (a)X 1 2X 22 P 1 X 1 2 L 11 1 X 12X2 2 X 2 2P2 0 (b ) Lw P 1X 1P 2X 2 0 (c)由(a)和 (b)整理得：1 (X2 X 1)2 _P 1 0 X2 _P 1 1 (X 1 X 2)p 2X i p 2 (3)瓦尔拉斯需求函数分别将—P , cP 代入预算约束(O ’有3•求支出函数由间接效用函数，求反函数 W 得:1 2 1 2可=2口 P 2 v (P 1, P 2,w) e(p,u) = 2p 1 P 2 u4 •求希克斯需求函数2 •求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数 U (X 1,X 2)二；X 1X 2，有2P 1X 2 = w 2p 2法一：将支出函数代入瓦尔拉斯需求函数X i 二旦，得到2P i5•求货币度量的效用函数(1) 货币度量的直接效用函数 由 e(p,u) = 2P 112P 212U ，有w(p,x) = 2 pj 2 p ； 2u(X 1 ,X 2)=2 P 13'2 P 21'2TXX(2) 货币度量的间接效用函数(p;q,w) 2p 112p 212v(q 1,q 2,w) 6 •下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后P 10 = 0.25 , p ；=1，p ； = 0.25+ 0.25， p ； = 1w 1 = w 0 = w = 2等价变化分析：w按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:0 1 1 1 0 1 Ev e( p , u ) e( p , u ) = e( p , u ) - w=M (P 0; P,w)-w1111 0 2 0 2 1 _2 1 Pi P 2 P1 P2 w w 丄 1 丄 丄u 1 v( P 11, P 21, w)3 \1 2 /1 \1 22( P 1 ) (P 2 ) u 0 v( P 10, P 20,w)0 2( P 1 ) 0 (P 2 ) 2 12 1_2 2(0.25) (1), —12 1,2 h i P i P 2 u , 1 2 — 1 2 h 2 P 1 P 2 u法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导,也可得到希克斯需求函数 1212 12 12P 1 P 2 q 1 q 2 w2 2(0.5)12(1)120.25 2 1 ° 0.5 7 1 7 2 2 0.5858 商品税与收入税对消费者的福利之差为(T) Ev(p0; p1,w) th(p1,u1) Ev(p0; p1,w)0.25 (p11)—12(p21)1"u1 0.5858 0.25 (0.5) —12(1)12•、2 0.58580.0858 表明商品税对消费者的福利影响更差。