尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第2篇 选择与需求 第3章 偏好与效用课后习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。

（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xyU x y x y=+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。

边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。

图3-7 完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。

边际替代率为：()()0.50.50.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -===，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。

图3-8 凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-9所示。

边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。

图3-9 拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-10所示。

边际替代率为：()0.522220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-⋅-⋅=，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。

图3-10 凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-11所示。

边际替代率为：()()()()2222///x y x y y xy x y x xy MRS f f y x x y x y +-+-===++，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。

图3-11 凸状的无差异曲线2．在第3章的脚注7中，我们已经证明：为例使得一个关于两个商品的效用函数有严格递减的MRS （即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：22211121212220f f f f f f f -+<利用该条件检验第1题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。

描述此过程中你发现的任何捷径。

答：在第1题中，由于所有的一阶偏导数都是正的，所以仅需要检验二阶偏导数。

（1）因为112220f f f ===，所以该效用函数不是严格拟凹的。

（2）因为11f ，220f <，120f >，所以该效用函数是严格拟凹的。

（3）因为110f <，220f =，120f =，所以该效用函数是严格拟凹的。

（4）尽管仅考察x y ≥时的情形，但是二阶偏导数的符号是不确定的，所以效用函数不一定是严格拟凹的。

（5）因为11f ，220f <，120f >，所以效用函数是严格拟凹的。

3．对于如下效用函数： （1）(),U x y xy = （2）()22,U x y x y = （3）(),ln ln U x y x y =+证明：尽管这些效用函数具有递减的MRS ，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。

你能从中得出什么结论？证明：（1）x U y =，0xx U =，y U x =，0yy U =，/MRS y x =； （2）22x U xy =，22xx U y =，22y U x y =，22yy U x =，/MRS y x =； （3）1/x U x =，21/xx U x =-，1/y U y =，21/yy U y =-，/MRS y x =。

从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率MRS 。

4．如图3-12所示，一种证明无差异曲线的凸性的方法是，对于特定无差异曲线U k=上的任何两点（1x ，1y ）和（2x ，2y ），两点的中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭相应的效用至少与k 一样大。

利用此方法来讨论如下效用函数的无差异曲线的凸性。

务必图示你的结论。

图3-12 利用图形判断凸性答：（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：()()()()()111222121212,,/2,/2/2U x y x k U x y x U x x y y x x =====++=+⎡⎤⎣⎦如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：1122y x k y x >==<，因而有：()12/2x x k +> ()12/2y y k +>从而可知无差异曲线如图3-13所示，是凸状的。

图3-13 利用图形来判断无差异曲线的性状 （2）由（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：()()()()()111222121212,,/2,/2/2U x y x k U x y x U x x y y x x =====++=+⎡⎤⎣⎦如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：1122y x k y x <==>，因而有：()12/2x x k +<，()12/2y y k +<从而可知无差异曲线如图3-13所示，不是凸状的，而是凹状的。

（3）在完全替代型的效用函数下，有：()()()()11221212,,/2,/2U x y k U x y U x x y y ===++⎡⎤⎣⎦因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。

5．Phillie Phanatic 总是喜欢以一种特定的方式来吃BallparkFranks 牌的热狗：他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。

他的效用是以上四种物品的函数，并且额外一种物品的数量增加而其他成分不变是不会增加他的效用的。

（1）Phillie Phanatic 对于这四种物品的效用函数的形式是什么？（2）我们可以如何将Phillie Phanatic 的效用视为一种商品的函数来简化问题？这种商品是什么？（3）假设每英尺热狗的价格为1美元，小圆面包价格为0.5美元，每盎司芥末的价格为0.05美元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15美元，则（2）问中定义的商品的价格是多少？（4）如果每英尺热狗的价格增加50%（即增至1.5美元），则该商品的价格增加的百分比是多少？（5）小圆面包的价格上涨50%将如何影响该商品的价格？你的答案与（4）问中有何不同？（6）如果政府对Phillie Phanatic 购买的每单位商品征税1美元，则税收将如何在这四种商品中分担，从而使Phillie Phanatic 的效用成本最小化？解：（1）如果h 代表热狗，b 代表小圆面包，m 代表芥末，r 代表调味品，则Phillie Phanatic 的效用函数可以表示为：()(),,,Min ,2,,0.5U h b m r h b m r =这是完全互补效用函数。

（2）可以将Phillie Phanatic 的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组合视为是一种完全调配好的热狗。

（3）该种商品的价格是：10.50.50.0520.15 1.6+⨯++⨯=（美元）。

（4）如果热狗的价格增至1.5美元，则该商品的价格为：1.50.50.50.0520.152.1+⨯++⨯=（美元）因此，该种商品的价格上涨幅度为：()2.1 1.6 1.631%-÷≈。

（5）如果小圆面包的价格增至()0.510.50.75⨯+=（美元），则该种商品的价格为：10.50.750.0520.15 1.725+⨯++⨯=（美元）因此，该种商品的价格上涨幅度为：()1.725 1.6 1.67.8%-÷≈。

（6）提高价格以使完全调配好的热狗的价格增至2.6美元，从而在征税1美元的情况下，这将等价于购买力的总额减少。

为使Phillie Phanatic 的效用成本最小化，增收的1美元税收应该在各种商品之间按固定比例分担，即按1:2:1:0.5进行分担。

即对每英尺热狗征税0.22美元，每单位小圆面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司咸菜征收0.11美元，此时Phillie Phanatic 的效用成本最小。

6．许多广告语似乎表明了人们的某些偏好。

你将如何利用效用函数来描述下列广告语？（1）人造黄油与真黄油一样好。

（2）饮可口可乐，万事如意。

（3）你不能仅吃Pringle 牌的薯条。

（4）Krispy Kreme 牌的油炸饼圈就是比Dunkin 牌的好。

（5）Miller Brewing 建议我们“负责任地”喝（啤酒）。

（什么是“不负责任地”喝酒呢？）答：（1）如果用p 代表人造黄油消费量，b 代表真黄油消费量，则效用函数可以表示为：(),U p b p b =+这表示人造黄油和真黄油是完全替代品，它们之间的替代比率是1∶1。

（2）如果用x 代表其他商品的消费量，y 代表可口可乐的消费量，则效用函数可以表示为：(),U x y ，且满足：20Ux y∂>∂∂。

例如效用函数(),2U x y xy =就可以表示这种偏好。

（3）如果用p 代表Pringle 牌的薯条的消费量，x 代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：()(),1,U p x U x ＞，对于所有的1p >以及x 成立。

（4）如果用k 代表Krispy Kreme 牌的油炸饼圈的消费量，d 代表Dunkin 牌的油炸饼圈的消费量，x 代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：()(),,U k x U d x >，对于所有的k d =成立。

（5）如果用U '代表其他人的效用水平，x 代表其他商品的消费量，b 代表啤酒的消费量，则效用函数可以表示为：(),,U x b U '，且满足0UU ∂>'∂（这表示有利他偏好，说明他喝酒是负责任的），一个人喝酒会影响别人的效用水平。

7．假设某人起初拥有一定数量的两种商品，这两种商品都会给他（她）带来效用。

两种商品的初始数量分别为：x 和y 。

（1）在此人的无差异曲线图中画出初始的商品组合。

（2）如果此人可以用x 与其他人交换y （或用y 交换x ），则他（她）将自愿进行何种类型的交换？他（她）将不愿进行何种类型的交换？这些交换如何与此人在点（x ，y ）处的MRS 有关？（3）假设此人对其拥有的初始商品数量较为满意，并且仅考虑那些能使其效用增加k 的交换。