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三 相因子与变换
1、相因子与变换 、 相因子与光学元件存在对应关系 在变换分析中， 在变换分析中，利用相因子进行物理分析 在实际工作中， 在实际工作中，利用相因子进行光路实现
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三 相因子与变换
2 透镜相因子便是一个二次函数 记住一点，有透镜存在，就相当于在原来的波 函数上配上一个二次相因子，同样的，当波函数有 一个二次相因子的话，那就是有一个透镜存在，它 可是真实的，也可能是虚幻的，但波函数却有着发 散或会聚的性质，这一点却是真实的
x +y exp[ jk ] 2z
2 2
[ x − ( n − 1)α ]2 + y 2 ( n − 1) 2 α 2 U1 = A exp{ jk[ ]} exp[− jk ] 2s 2s
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一 棱镜的变换特性
略去与xy无关的常数相因子，则此式表明经过 棱镜的变换还是球面波，但是中心位置在 (x’,y’,z’)，且有
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一 棱镜变换特性
3 棱镜成像公式 设球面波照明棱镜，点源至棱镜的距离为S，则球 面波照射棱镜前表面的波面为
x2 + y2 U 0 ( x, y ) = A exp[ jk ] 2s
x +y exp[ jk ] 2z
2 2
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一 棱镜的变换特性
x2 + y 2 U1 ( x, y ) = t ( x, y ) ⋅ A exp[ jk ] 2s
ϕ ( x, y ) = k (∆1 + nd ( x, y ) + ∆ 2 )
nd ( x, y ) = n(d 0 − ∆ 1 − ∆ 2 )
ϕ ( x, y ) = ϕ 0 − k (n − 1)(∆ 1 + ∆ 2 )
ϕ 0 = knd 0
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二、透镜的变换特性
x2 + y2 2 2 2 ∆ 1 ( x, y ) = r1 − r1 − ( x + y ) ≈ 2r1
U 1 ( x, y ) = A1 ( x, y) exp[ jϕ1 ( x, y )]
U 2 ( x, y ) = A2 ( x, y ) exp[ jϕ 2 ( x, y )]
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二、透镜的变换特性
于是透镜的屏函数表现为
U2 A2 t ( x, y ) = = exp[ j (ϕ 2 − ϕ 1 )] U1 A1
傅里叶光学
第六章 光学元件的变换特性
第六章 光学元件的变换特性 序 一 二 三 四 五 六 棱镜与柱面镜的变换特性 透镜的变换特性 相因子与变换 透镜的傅里叶变换特性 高斯光束经透镜的变换 光学计算机
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序 光学元件
透明与不透明 成像与不成像 几何光学与衍射光学元件
问题： 问题： 关系? 透镜和计算机之间有什么关系?
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四 透镜的傅里叶变换特性 --物在透镜之前 物在透镜之前 物在透镜之
(x1,y1)
物
(x,y)
透镜
(xi,yi) 菲涅尔衍射 共轭面
发散球面波
光源 S
菲涅尔衍射
透过 U1 U1’ d1 d0
透镜位相变换 UL UL’ di
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S’
U
四 透镜的傅里叶变换特性
从光源到物体前表面－ 从光源到物体前表面－球面波传播 从物体前表面到物体后表面－透过 从物体前表面到物体后表面－ 从物体后表面到透镜前表面－菲涅耳衍射 从物体后表面到透镜前表面－ 透镜前表面到透镜后表面－ 透镜前表面到透镜后表面－透镜的位相变换 透镜后表面到光源共轭面（观察面）－菲涅耳衍 透镜后表面到光源共轭面（观察面）－菲涅耳衍 ）－ 射
k 2 2 ′ U L ( x, y ) = A exp j ( x + y ) 2f
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二、透镜的变换特性
薄透镜的成像公式
x2 + y2 U 1 ( x, y ) = A exp[- jk ] 2s
x2 + y2 U 2 ( x, y ) = t ( x, y ) ⋅ A exp[- jk ] 2s
透镜对入射光场的位相变换效应简化表达式，该式与入射波无关， 透镜对入射光场的位相变换效应简化表达式，该式与入射波无关，与透镜无关
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二、透镜的变换特性
2 结论： 结论： 薄透镜的作用相当于一个位相变换器， 薄透镜的作用相当于一个位相变换器， 光波经过透镜之后， 光波经过透镜之后，由于各处位相延迟 不同造成波面形状的改变， 不同造成波面形状的改变，进而改变了 传播方式
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二、透镜的变换特性
若对光振动的复振幅透过率可以用下式表示： 若对光振动的复振幅透过率可以用下式表示：
k 2 2 t L ( x, y ) = exp − j ( x + y ) 2f
的透镜。 则作用就相当于一个焦距为f的透镜。 通过全息照相的方法可以获得含有上式形式 透过率的透明片---全息透镜 透过率的透明片--全息透镜
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一 棱镜的变换特性
棱镜的变换特性
棱镜元件的基本作 用不是成像而是偏 转，它可将一个方 向的平行光束变换 为另一个方向的平 行光束
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一 棱镜的变换特性
目标：讨论位相变化
t 0 = exp[ jϕ ( x, y )]
设定光线在第二个界面 ϕ ( x , y ) = ϕ 2 ( x , y ) − ϕ 1 ( x , y ) 是等高变向出射 2π
24/88二、透镜的Fra bibliotek换特性讨论 这个结果表明，光振动通过薄透镜后，各点都发 生位相延迟 会聚透镜， 中心点位相延迟最多
kn∆ 0
k 偏离中心，位相延迟逐渐减少 (x2 + y2 ) 2f
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二、透镜的变换特性
发散透镜 透镜中心，位相延迟最小 偏离中心，位相延迟增大
kn∆ 0
k 2 2 − (x + y ) 2f
=
λ
( ∆ + nd ) 2π
ϕ0 =
2π
λ
nd 0
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λ 2π = ϕ0 − ( n − 1)α x λ
= ϕ0 −
( n − 1) ∆
一 棱镜的变换特性
若棱镜方位为任意状态，则用两个方向角的余角 来标定棱镜的取向，此时位相差应写成
ϕ ( x, y ) = ϕ 0 − k (n − 1)(α 1 x + α 2 y )
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二、透镜的变换特性
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二、透镜的变换特性
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二、透镜的变换特性
3 透镜的成像性质 透镜的焦距 平面波沿光轴传播到透镜，透镜前的xy平面与波阵面重合， 所以得到 k 2 2 U ' L ( x, y ) = A exp − j ( x + y ) 2f 这是一个会聚至焦点上的球面波， 对于凹透镜，可以写成
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三 相因子与变换
3 棱镜成像公式再讨论
[ x − (n − 1)α ]2 + y 2 (n − 1) 2 α 2 U1 = A exp{- jk [ ]} exp[− jk ] 2s 2s
它就是一个平移后的二次相因子 也是平面波斜入射后经过一个透镜成像
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三 相因子与变换
讨论： 一个焦距为(-s)的发散透镜，作用于一列偏向角 为 ( n − 1)α 的平面波，而结果是成为一束发散于新的 点的球面波 照明时的球面波所携带的二次相因子，在成 像过程中竟可以扮演为一个等效的光学元件，起一 个透镜的聚散作用，这一角色变换可就意味深长了。 在全息光学中有相当好的体现
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一 棱镜的变换特性
尼科耳棱镜
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第六章 光学元件的变换特性 序 一 二 三 四 五 六 棱镜与柱面镜的变换特性 透镜的变换特性 相因子与变换 透镜的傅里叶变换特性 高斯光束经透镜的变换 光学计算机
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二、透镜的变换特性
1 薄透镜的变换特性
r2
r1
∆
薄透镜： 薄透镜：厚度与曲率半径相比足够小 16/88
x ' = ( n − 1)αs,
y ' = 0,
z' = s
这说明像点和物点等远，两者横向间隔为
d = ( n − 1)αs
后面会进一步讨论这个公式的物理意义
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一 棱镜的变换特性
五棱镜
双面反射棱镜，可使 入射光线垂直转向。 即使入射光线与入射 面并非严格垂直, 其由于 其结构特点使得出射光线 不随五棱镜的位置变化而 改变，出射光线精确垂直 转向
∆0
∆0
∆ ( x, y )
D a exp[ j (ϕ 2 − ϕ 1 )]. r < 2 = D 0 . r> 2
( 光瞳内 ) ( 光瞳外 )
P1 U1
P2 U2
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二、透镜的变换特性
在一般的光学系统中，我们讨论理想的薄透镜， 即振幅透过率是1，从而我们有a=1，即透镜仅是 位相的函数。
k=
2π
略去常数项因子，得到棱镜位相变换函数
λ
t ( x, y ) = exp[ − jk ( n − 1)αx ]
比较棱镜与平面波
t ( x, y ) = exp[− jk (n − 1)(α 1 x + α 2 y )]
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一 棱镜的变换特性
2、棱镜与一次函数 棱镜为位相变换函数，其相因子为一次相因子 相因子与变换性质是一一对应的 即在某种波前变换的场合如果出现了一次相 因子的变换函数作用在波前函数，那么其实际效果 就好像被作用的波前函数经历了棱镜的作用
x2 + y 2 = exp[− jk (n − 1)αx] ⋅ A exp[ jk ] 2s 2 2 x +y = A exp{ jk[ − (n − 1)αx]} 2s x 2 + y 2 2(n − 1)αx ( n − 1) 2 α 2 ( n − 1) 2 α 2 = A exp{ jk[ − + − ]} 2s 2s 2s 2s