解：由可能度矩阵
aU bL P(a b ) min{max( ,0),1} la lb
0 0 0.5444 0.5698 0.5 1 0.5 0.9906 1 1 P 1 0.0094 0.5 1 1 0 0 0.5 0.5217 0.4556 0.4302 0 0 0.4783 0.5
定义3 当
U L
a, b 至少有一个为区间数时，且记
则称
U L l b b , la a a , b
P(a b )
max{0, la lb max(bU a L , 0)} la lb
（5）
为 a b 的可能度。
例 设 a [2,3] ，b [1,6] ， 求 P(a b ) 。 解
（一）区间数定义
x 表示。其中，为 x L 区间数 设 R 为实数域，称闭区间 x L , xU 为区间数，用 ~
的下确界， xU 为区间数的上确界， x L , xU R, x L xU 。
下列符号用来表示一个具有区间数的多指标决策问题的集和量：
S S1, S 2, , Sm ：为 m 个备选方案的集合 m 2 。 Q Q1, Q2, , Q3：为 n 个指标的集合 n 2 ，假设这些指标是加性独立的。
p12 p22 pn 2 p1n p2 n 。 pnn
p11 p 建立如下可能度矩阵 p 21 pn1
该矩阵包含了所有方案相互比较的全部可能度信息。因此，对区间数进行 排序的问题就转化为求解可能度矩阵的排序向量问题。 由于可能度矩阵 p 中元素 pij ,i, j 1, 2, , n 满足 0 pij 1, pij p ji 1, i, j 1, 2, , n 。 因此，矩阵 p 是一个模糊互补判断矩阵。采用模糊互补判断矩阵的排序理论进
的多目标决策 。
多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它
的理论和方法在工程设计、经济、管理和军事等诸多领域 中有着广泛的应用，如：投资决策、项目评估、维修服务、 武器系统性能评定、工厂选址、投标招标．产业部门发展 排序和经济效益综合评价等．多属性决策的实质是利用已
有的决策信息通过一定的方式对一组(有限个)备选方案进
n 1 ij 2 j 1 , i 1, 2, 行排序，即 wi n(n 1)
p
n

, n 得到可能度矩阵 p 的排序向量
w (w1, w2 ,
, wn )T ，并利用 wi (i 1, 2, , n) 对区间数 ai (i 1, 2, , n) 进行排序。
~ ~ b a a L b L , aU bU ~ ~b a a L b L , aU bU ；
；


L U a a ~ ~ b , L a = U b b
；
~ ka

ka L , kaU
， k 0 ；
1 ~ a

1 1 , L U a a
。
（三）区间数大小比较
1, b a 相应地， b a 的可能度定义为 p (b a ) 0, b a

2
L U a [ a ,a ]， 定义 2：当 a, b 同时为区间数或者有一个为区间数时，设
b [bL , bU ] 且记 l (a) aU aL , l (b) bU bL ,
4
为 b a 的可能度。
设 P(a b) p ，则记 a, b 的次序关系为 a b p
例 设 a [2,3] ，b [1,6] ， 求 P(a b ) 。
解
la 1,
lb 5,
a 2,
L
bU 6,
bU a L P(a b ) max{1 max( ,0),0} la lb bU a L 62 max{1 max( ,0),0} max{1 max( ,0),0} la lb 1 5 2 1 max{1 , 0} b. 所以， a 0.33 3 3
对于矩阵P按行求和：
pi pij
j 1 5
i 1, 2,
,5
0 0 0.5444 0.5698 0.5 1 0.5 0.9906 1 1 P 1 0.0094 0.5 1 1 0 0 0.5 0.5217 0.4556 0.4302 0 0 0.4783 0.5
min{la lb , max(aU b L , 0)} la lb
（7）
为 a b 的可能度。
可以证明，以上几个定义是等价的。
例 设 a [2,3] ，b [1,6] ， 求 P(a b ) 。
解
la 1,
lb 5,
aU 3,
b L 1,
P(a b )
（1） 0 P(a b) 1 （2） P(a b) 1 （3） P(a b ) 0
U L 当且仅当 b a U L 当且仅当 a b
（4）（互补性） P(a b) P(b a) 1
特别地， P(a a) 1/ 2.
（5） P(a b) 1/ 2 当且仅当 aU a L bU bL .
不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强。在实际决 决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本讲将 介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念．区间数 之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并
且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点
的多属性决策方法．
例1：假期旅游，是去风光绮丽的杭州，还是去迷人的北戴
则称
la aU a L , lb bU bL ,
aU bL P(a b ) min{源自ax( ,0),1} la lb
为 a b 的可能度。
（6）
定义5 当
a, b 至少有一个为区间数时，且记
则称
la aU a L , lb bU bL ,
P(a b )
min{la lb , max(aU b L , 0)}
la lb min{1 5, max(3 1, 0)} 1 1 5 3
ab
0.33
所以，
根据上述几种定义，可以证明下列结论均成立。
L U a [ a , a ] b [bL , bU ] 定理1 设 ， ，则
行排序或择优．它主要由两部分组成： (l) 获取决策信息．决策信息一般包括两个方面的内容： 属性权重和属性值(属性值主要有三种形式：实数、区间数和 语言)．其中，属性权重的确定是多数性决策中的一个重要研 究内容；
(2)通过一定的方式对决策信息进行集结并对方案进行排序 和择优．
基于可能度的多属性决策方法 一、区间数的基本概念
特别地，P(a b) 1/ 2 当且仅当 aU a L bU bL . （6）（传递性）对于3 个区间数 a, b, c, 若
P(a b) 1/ 2
且 P(b c) 1/ 2 则 P(a c) 1/ 2
定义6 设摸糊判断矩阵 B (bij )nn ，若有
~ij a L , aU 表示方案 S i 对应于指标 Q 的一个结果 m n ：表示具有区间数的决策矩阵，其中 a j ij ij
（二）区间数的运算法则
~ L U L U ~ b , b 设 a [ a , a ]和 b [ ]为任意两个正闭区间
数，关于区间数的运算法则可由下列式子给出：
la 1,
lb 5,
a 2,
L
bU 6,
P(a b )
max{0, la lb max(bU a L , 0)} la lb
max{0,1 5 max(6 2, 0)} 1 1 5 3
所以，
ab
0.33
定义4 当
a, b 至少有一个为区间数时，且记
p1 1.6142,
p2 4.4906,
p3 3.5094,
p4 1.4773,
p5 1.4085.
由
p1 1.6142,
p2 4.4906,
p3 3.5094,
p4 1.4773,
得到:
p5 1.4085.
z2 ( w) z3 ( w) z1 ( w) z4 ( w) z5 ( w)
则称
bU a L p(a b) max 1 max ,0 ,0 l (a) l (b)
3
为 a b 的可能度。 类似地，称
aU b L p(b a) max 1 max ,0 ,0 l (a) l (b)
第五讲：《决策理论与方法》之：
多属性决策方法
不确定性多属性决策方法
一、区间数的基本概念
二、区间数多属性决策的线性规划方法
三、区间数多属性决策的目标规划方法
四、区间数多属性决策的TOPSIS方法
五、三端点区间数判断矩阵的排序方法
六、基于模糊线性规划的多属性决策方法
关于多属性决策决策问题
随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性、
L U L U a [ a , a ] { x | a x a } ，称 a 为一个区间数。特别地，若 记
a L aU ，则 a 退化为一个实数。
1, a b p ( a b ) 定义 1： 当 a, b 均为实数时，称 0, a b
为 a b 的可能度。

1
~ w1, w 2, , w n T ：为用区间数形式表示的指标权重向量，其中， w j wL , wU w j j