a L aU ，则 a 退化为一个实数。
1, a b 定义 3.2.1 当 a, b 均为实数时，称 p(a b) 0, a b
为 a b 的可能度。

3.2.1
p(b a) 1, b a 相应地， b a 的可能度定义为 0, b a

3.2.2
3.2.3
为 a b 的可能度。 类似地，称
p(b a ) m ax 1 aU b L max l (a ) l b( ) , 0 , 0
3.2.4
为 b a 的可能度。
对于给定的一组区间数 a [a L , aU ], i 1, 2,, n. 用区间数比较的可能度公式对 其进行两两比较，得到相应的可能度 p(ai a j ), i, j 1, 2,, n, ，简记为 pij ,i, j 1, 2,, n,
L n b L w' , d i ij ji j 1
U n bU w'' , d i ij ji j 1
i 1, 2,, m
三、区间数多属性决策的目标规划方法
设属性权重向量为 w w1 , w2 ,, wn T , 这里 w j j 1,2,, m可被视为变量。设方案
n
w L w j wU , j 1,2,, n j j
这个模型的基本含义是要确定每个方案的综合评价值所在的区间并使用同一个 属性权重向量 w w , w 2 ,, w
1 T n
, ，使得所有方案的排序（或评价）具有可比性。
1i i
为了方便求解上述多目标最优化模型，可将式 3.2.11 —— 3.2.14 转化为下列线性 目标规划问题：
3.2.10
其中， w j 是构造的下列多目标最优化模型的解：
L min f i aij w j j 1 n n
i 1,2,, m
3.2.11
U max f aij w j j 1
i 1,2,, m
3.2.12
3.2.13
s.t.
二、区间数多属性决策的线性规划方法
将决策矩阵 A aij m n 规范化为 B bij mn ，计算公式如下： 当 Q j 为效益型属性时： 当 Q j 为成本型属性时：
bij aij /
a
i 1
m
ij
3.2.5
m
bij (1 / aij ) / (1 / aij )
步骤四：以总功效系数为判据，对各方案进行排序。 功效系数越大，方案越优；反之，方案越劣。
第二节
不确定性多属性决策方法
一、区间数的基本概念
二、区间数多属性决策的线性规划方法
三、区间数多属性决策的目标规划方法
四、区间数多属性决策的TOPSIS方法
五、三端点区间数判断矩阵的排序方法
六、基于模糊线性规划的多属性决策方法
二、理想解法
理想解法又称为TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法。
这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解， 并以靠近理想解和远离理想解两个基准作为评价各 可行方案的依据。理想解法又成为双基点法。
i i
n
j 1
1i 和 1i 分别是 P1 级目标中 u i 和 vi 的权重系数； 2i 和 2i 分别是 P2 级目标中 u i 和 vi 的权重
系数。可以认为所有的目标函数之间是公平竞争的，没有任何偏好关系，因此，可以取
1i = 1i = 2i = 2i =1， i 1,2,, m 。
n 1 2 j 1 , i 1, 2, , n 得到可能度矩阵 p 的排序向量 行排序，即 wi n(n 1)
pij
n
w ( w1 , w2 , , wn )T ，并利用 wi (i 1, 2,, n) 对区间数 ai (i 1, 2,, n) 进行排序。
p11 p 建立如下可能度矩阵 p 21 pn1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n 。 pnn
该矩阵包含了所有方案相互比较的全部可能度信息。因此，对区间数进行 排序的问题就转化为求解可能度矩阵的排序向量问题。 由于可能度矩阵 p 中元素 pij ,i, j 1, 2, , n 满足 0 pij 1, pij p ji 1, i, j 1, 2,, n 。 因此，矩阵 p 是一个模糊互补判断矩阵。采用模糊互补判断矩阵的排序理论进
i 1,2,, m
ui , ui , vi , vi 0,
3.2.20
式中， u 和 u 分别是目标函数 f i 低于和高于期望值 aijL w Lj 的下偏差变量和上偏差
i i
n
j 1
U 变量； v 和 v 分别是目标函数 f i 低于和高于期望值 aij wU 的下偏差变量和上偏差变量； j
简单线性加权法的基本步骤是：
步骤一：用适当的方法确定各决策指标的权重，设权重向量为：
W ( w1 , w2 ,, wn ) ，其中， w j 1 。
T
j 1
n
步骤二：对决策矩阵 X ( xij )mn 作标准化处理，标准化矩阵为
Y ( yij ) mn ，并且标准化之后的指标均为正向指标。
T ~ w w1, w 2, , w n ：为用区间数形式表示的指标权重向量，其中， w j w L , wU j j
，
w
j 1
n
L j
~ 1, wU , j , w L 0, wU 0 。一般地， w 由决策者给出。 j j j
j 1
U ~ m n ：表示具有区间数的决策矩阵，其中 a ij aijL , aij 表示方案 Si 对应于指标 Q j 的一个结果
m L b (1/ au ) /( 1/ a L ) ij ij ij i 1 m bU (1/ a L ) /( 1/ aU ) ij ij ij i 1
3.2.8
L U 显然有 bij , bij [0,1], i, j.
对于不确定性区间数的多属性决策问题，根据加权法则，决策方案 S i 的 综合评价值所在的区间，可以分别由下列两个线性规划模型求得
n
~ ~ A a ij
（二）区间数的运算法则
~ ~ [ a L , aU ]和 b [ b L , bU ]为任意两个正闭区间 设a
数，关于区间数的运算法则可由下列式子给出：
L L U U ~ ~ a b a b ,a b ~ ~ a b a L b L , a U bU ；
i 1
3.2.6
根据区间数的加减乘除法则，进一步可将上述公式写为
m L b a L / aU ij ij ij i 1 m bU aU / a L ij ij ij i 1
当 Q j 为效益型属性时：
3.2.7
当 Q j 为成本型属性时：
步骤三：求出各决策方案的线性加权指标值 ui w j yij
j 1

n
1 i m 。
步骤四：以线性加权指标值 ui 为依据，选择线性加权指标值最大者为 最满意的答案，即 u (a ) max ui max w j yij 。 1 i m 1 i m
* j 1 n
理想解：设想各指标属性都达到最满意的解。
负理想解：设想指标属性都达到最不满意的解。
三、功效系数法
功效系数法是将各决策指标的相异度量转化为相应 的无量纲的功效系数，再进行综合评价的多属性决 策方法。 功效系数法的基本步骤是：

步骤一：确定决策指标体系 步骤二：计算各指标的功效系数


步骤三：计算各方案的总功效系数
《决策理论与方法》
第三章 多属性决策及 不确定性属性决策方法
第一节 第二节 多属性决策问题的决策方法 不确定性多属性决策方法
第一节
多属性决策问题的决策方法
一、简单线性加权法
二、理想解法 三、功效系数法
一、简单线性加权法
简单线性加权法是一种常用的多属性决策方法， 先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行 标准化处理，求出各方案的线性加权指标平均 值，并以此作为各可行方案排序的依据。应该 注意，简单线性加权法对决策矩阵的标准化处 理，应当使所有的指标正向化。
a [a L , aU ] ， 定义 3.2.2 当 a, b 同时为区间数或者有一个为区间数时，设
b [b L , bU ] 且记 l (a) aU a L , l (b) bU b L ,
则称
bU a L p(a b) max 1 max ,0 ,0 l (a) l (b)
一、区间数的基本概念
（一）区间数定义
设 R 为实数域，称闭区间 x L , xU 为区间数，用 ~ 表示。其中，为 x L 区间数 x 的下确界， xU 为区间数的上确界， x L , xU R, x L xU 。
下列符号用来表示一个具有区间数的多指标决策问题的集和量：
S S1, S 2, , Sm ：为 m 个备选方案的集合 m 2 。 Q Q1, Q2, , Q3：为 n 个指标的集合 n 2 ，假设这些指标是加性独立的。
S i 的综合评价值是由区间数[ f i L , f iU ]来表达，根据多属性决策分析中的简单加权法
则，它的计算公式为：
L f i aij w , j L j 1 n