的转动惯量。
z
解：
dJ x2dm
dm o
dm dx m dx
x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
例3-2 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并 与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：dJ r 2dm
dm 2 rdr
J 2 R r3dr 0
第三章 刚体力学基础
§３-1 刚体定轴转动 运动学
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
二. 刚体的运动
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动 1.平动 运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
相加
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
i
i
i
F内力ri sini 0 令 F外力ri sini M
i
J miri2 i
i
M J
转动定律
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
三. 刚体定轴转动的描述
1.角坐标 (t)
从上往下看，逆时针为正，顺时针为负
2.角速度 d 单位： rad s 1或 s 1
dt
刚体定轴转动：转动方向用正负表示
刚d体非0 定轴0转逆动时z：r针用转矢v动量;
d0 表示
0 P
0
顺时针转动
参考平面
x 参考轴
3.角加速度
lim d t0 t dt
mr2
65 6
mr2
四. 转动定律的应用
解题要点
1）受力分析
质点:根据牛顿第二定律:
F
ma
2）列方程： 刚体:根据转动定律: M J
无滑动条件: a R
3）解方程
例 3-3 如图，m1 、m2 、M 、和R 都已知，绳子与滑 轮间无相对滑动，求m1 （m2 ）的加速度。
解：
Q
m1g T1 m1a T2 m2 g1 m2a
•反映合外力矩对刚体的瞬时作用效果。 •M、J、α对同一转轴而言。 •只对刚体有效。
三 转动惯量 ─反映刚体转动惯性大小的物理量.
1.转动惯量的定义式： J miri2 单位 kg m2
连续体的转动惯量：J r 2dm dm：质量元
dm dl ：质量线密度
dm dS ：质量面密度
dm dV ：质量体密度
五. 角量和线量的关系
v r
a r
an
r 2
例 某种电动机启动后转速随时间变化的关系为
t
0 (1 e )
式中
0 9 0s 1, 2 0s
求⑴t=6.0s时的转速；⑵角加速度随时间变化的
规律；⑶启动后6.0s内转过的圈数。
t
60
解：⑴
0
(1
e
)
9
0(1
e 20
)
8
6rad
s 1
2.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）；
⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）；
⑶与刚体的转轴位置有关。
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
3. 转动惯量的计算 a.质点作圆周转动的转动惯量
JZ= m r2
Z
Or m
Z
b.质点系的转动惯量
m2
JZ m1r12 m2r22 m3r32
单位： rad s 2或 s 2
定轴转动刚体α的方向由其正负表示
2、1同向，且21，Δ0，α为正，加速运动。
2、1同向，且21，Δ0，α为负，减速运动。
四、 匀变速转动公式： 匀加速转动：角加速度保持不变
t 0
t 1 t 2
0
02
2 02 2
刚体做定轴转动时，刚体内 任一质点的角量描述，代表着所 有质点运动的共同描述，因此角 量可用来描述定轴转动刚体的整 体运动．
持方向不变。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。 即对刚体平动可以用质点运动处理。
2. 转动 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称
为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转动：转轴固定不动的转动。
z
O
特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速 度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴 转动的规律
r2
r1
m1
r3
O
则：
J miri2
m3
c.质量连续分布的刚体
dl 线分布
J r2dm dm ds 面分布
dv 体分布
4. 平行轴定理
平行轴定理：
Jz Jc md2
例：
Jc
1 2
mR2
Jz
Jc
R
m
Jz
1 2
mR2
mR2
3 2
mR2
例3-1 计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴
•力矩M与参考点O选取有关。
•合力对某定点O的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量和。
M Mi
单位：m·N
2、刚体绕轴的力矩
z F
F//
0r
F┻
刚体绕定轴转动的力矩的方向沿ＯＺ轴 当：Ｍ＞０逆时针方向转动 Ｍ＜０顺时针方向转动
二、转动定律
"mi " 由牛顿第二定律：
Ｚ ω，α
F 外力 F内力 mi ai
F外力 cosi F内力 cosi miain F外力 sini F内力 sini miai
Ｆ内力
Ｏ i
ri i
Ｆ外力
F外力 cosi F内力 cosi miri 2
F外力 sin
i
F内力 sin
i
mi ri
因法向分力的作用线通过转轴，其力矩为零，对改变转动状
态不起作用．切向方程两边同乘以 ri
O r dr R
R4 1 mR2
22
(
m
R 2 )
例3-３.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为 m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）
解： 摆杆转动惯量：
J1
1 3
m2r 2
4 3
mr2
摆锤转动惯量：
o r
J2
Jc
md 2
1 2
mr2
m3r 2
19 2
mr2
J
J1
J2
4 3
mr2
19 2
⑵
d
0
t
e
4
t
5e 2
s 2
⑶
dt
6
6
t
dt
0
0 0 (1 e
) dt
0t
N
6
t
(0e
0
5 87圈
6
)
0
36
9rad
2
§３-2
刚体定轴转动动力学
一、力矩
1、力对点O的力矩
定义：
z
F
r M
θ
γ
p
M rF
o
x
d
y M rFSih Fd
•力矩在数值上等于以 r、F 的大小为边的平行四边形的面积。M 的方向垂直于r和F决定的平面，且r、F、M 构成右旋关系。