接如图所示，求 J oo ?, J cc ? o
解：由转动惯量定义
J oo mi Ri2 m l 2 m l 2 0 0
l lc
i
2ml2
o c
J cc
i
mi Ri 2
4 m
l
2
2
ml2
[例2]长l、质量m 的均匀细棒其中心在o点。求它 对过o且垂直于杆的oc轴、AB 轴的转动惯量.
m r2dm =
0
R 0
2m R2
r 3dr
=
1 2
mR2
Rm
dr
r
O
四.刚体定轴转动的转动定律的应用
M J F ma
应用转动定律解题 步骤与牛顿第二定 律时完全相同。
[例1]物体A、B的质量分别为m1和m2，用一 轻绳相连，绳子跨过质量为M，半径为R的 匀质定滑轮C。如A下降，B与水平桌面间的 滑动摩擦系数为μ，绳与滑轮之间无相对滑 动，求系统的加速度及绳中的张力T1和T2 .
解：细棒质量密度为 m l
在棒上取长为d x 的质量元
o
dm dx
A
dx
dm的转动惯量 dJ oc x2dm B
cx x
Joc
x2dm
m
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 ml2 12
J AB
l 2
l 2
(
l 2
x)2
m dx l
1 ml2 3
3.平行轴定理
zN
以质心C为坐标原点
设对Cz轴的转动
C
B
A
o T1 N
T2 ' C
B
y
A
m1g
T2 B fk
m2 g
x
y
T1 '
o
A
解：建立如图坐标系
m1g T1 m1a1
T2 f k m2a2
N
fk
m2g N
0
T1R T2 R J
J 1 MR 2 2
a1 a2 a r
解得
a
m1 m2
g
m1 m2 M 2
T1
J m2 R22 m2 R1R2 J m1R12 m2 R22
m1g
T2
J m1R12 m1R1R2 J m1R12 m2 R22
m2 g
讨论：
a.当 m1R1 时m2，R2物体运动方向与所设相 同
，反之则相反
b.当 m1R1 m时2 R，2 匀速转动
0 即滑轮保持静止或
c.当 R1 时R2， 则为定滑轮时的情况
§3-3 角动量及角动量守恒定律
一.冲量矩——力矩的时间积累 Mdt
单位: N m s 定义：刚体的角动量 L
J z
角动量又称动量矩，因为：
ri mvi
rimri (
mi
ri
2
)
J
i
i
i
二.刚体定轴转动的角动量定理
由刚体定轴转动的转动定律
T1
( 1)m2 M
m1 m2 M
2 2
m1g
T1
( 1)m1
m1 m2
M
M2
2
m2
g
[例2]在半径分别为R1和R2的
阶梯形滑轮上反向绕有两根 轻绳，各挂质量为m1、m2的
R2
R1
物体。如滑轮与轴间的摩擦
不计，滑轮的转动惯量为J。
求滑轮的角加速度β及各绳中 m 2
的张力T1、T2. 解：设m1向下运动
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀 加速直线运 动公式相似
例：一飞轮作匀减速转动，在4s内角速度由
20 rad s1减到 10 rad s，1 则飞轮在4s内转
了几圈，飞轮再经过多长时间才能停止转动
解:（1）飞轮作匀减速转动 t 0 t
t 0 2.5 rad s 2
方向:沿z轴，由 r转向 F
的右手螺进的方向
即
Mz rF
z
d r
F
A
*多个力作用于刚体时：
M
Mi M1 M2 M3
F3
i
F2 F1
动力矩取正
阻力矩取负
二.定轴转动定律
合外力对转轴z的力矩 M z ( miri 2 )
i
定义：
Jz
i
mi ri2
——刚体对转轴z的 转动惯量
则： M z J z
Jz
d
dt
---定轴转动定律
反映了力矩的瞬时作用规律
*转动惯量的物理意义:Jz表示刚体转动惯性的大小
三、转动惯量的计算
o
1.对分离的质点系： J z mi Ri2
i
l lc
2.对质量连续分布的刚体：
dJ z r2dm
J z r 2dm
o c
r dm
例1：如图，质量为m 的四个小球由钢性轻杆连
M J d d (J )
冲量矩
dt
dt
t
Mdt
t0
J ( J
)0
d
(J
)
J
(
J
)0
即：刚体受到的合外力矩的冲量矩等于刚体 角动量的改变量
----刚体转动的角动量定理
三.角动量守恒定律
当 M z 0 则 Lz J z =常量
----刚体定轴转动的角动量守恒定律
t
0t
1 t2
2
60
rad
转动圈数： N 30圈
2
（2） t t
0
0 10 2.5
4s
3.2 力矩、刚体定轴转动定律
一.力矩
z
翻倾
F//
F
任意
d
r
A
力的有效性分析
F
有效
F F F//
定轴
定义: F对转轴的力矩
大小： M z Fd
若 F垂直转轴，力矩
大小：M z Fd Fr sin
3.1 刚体的运动及其描述
一.刚体模型 刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变
的物体 ----物体内任意两点的距离不变
二.刚体的运动
平动：刚体运动时，其内部任何一条直线， 在运动中方向始终不变
平动的特点:各点位移、速度、加速度均相同 刚体的平动----可视为质点，归结为质点运动
转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动 轴)作圆周运动
d
m
惯量为Jc
对MN 轴的转动惯量为
C
y
：
JMN JC md 2 x
----平行轴定理
M
*MN为任意空间直线
例3：圆环绕中心轴旋转的转动惯量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
J =
L R2dm = R2
0
dl
dm = mR2 R
m
O
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm = σds
=
m πR2
2πrdr =
2mr R2
dr
J =
定轴转动:转轴固定不动的转动
v
刚体的一般运动 = 平动 + 定轴转动
三、刚体的定轴转动
1.各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动
2.描述的物理量 , d , d
dt
任一质点圆周运动的 线量和角量的关系
r
dt z
简化
r
an r 2 at r
v r 转动平面
匀变速转动
当 c
T2 T1
m2 m1
m1
m1g T1 m1a1 1 T2 m2 g m2a2 2
m2 g
m1g
T2
T1
T1R1 T2R2 J (3)
a1 R1 4 R2
R1
a2 R2 5
T2
联立（1）~（5）解得
T1
J
m1R1 m2R2 m1R12 m2R22
g
m2
m1