联立（1）~（5）解得


J
m1R1 m2R2 m1R12 m2R22
g
T2
T1
m2 m1
T1

J m2R22 m2R1R2 J m1R12 m2R22
m1g
T2

J m1R12 m1R1R2 J m1R12 m2R22
m2 g
讨论：
a.当 m1R1 m2R2 时，物体运动方向与所设相
C
B
A



o
T1
N
T2 ' C
B
y
A
m1g
T2
B fk
m2 g
x
y
T1 '
o
A
解：建立如图坐标系
m1g T1 m1a1
T2 fk m2a2

N
fk
m2 g
N

0
T1R T2R J
J 1 MR2 2
a1 a2 a r
解得
a
只有保守力做功时----刚体的机械能守恒
Ek 2 Ep2 Ek1 Ep1
[例1]长为l，质量为m的均匀细杆 O
OA,绕通过其一端点O的水平轴在
铅垂面内自由转动。已知另一端
A过最低点时的速率为v0。求杆摆 动时A点升高的最大高度(不计空
气阻力和轴的摩擦力)。
h
解：杆摆动时只有重力做功，
A

o

mv 0

L 2
1 ML2 mL2
v0 φ
3
4
(2)子弹射入后的摆动过程
M 、m和地球组成的
o
系统机械能守恒
以竖直位置杆质心所
φ
在平面为零势能面
则
1 2

1 3
ML2

m
L2 4



2


m

M

g

L 2

L 2
cos

其中φ为杆摆动的最大角度
[例3]质量为m1的小球与质量为m2长为2l 的 棒作完全弹性碰撞，棒可绕通过中心的轴转
其中
J

1 12
m2
(2l
)
2

1 3
m2l
2
解得 v (m2 3m1)u m2 3m1
6m1u
(m2 3m1)l
L
r
v1
F
思考并解释 : 动能、机械能、
角动量 是否守恒？
定轴转动:转轴固定不动的转动


v
刚体的一般运动 = 平动 + 定轴转动
三、刚体的定轴转动
1.各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动
2.描述的物理量 , d , d
dt
任一质点圆周运动的 线量和角量的关系
r
dt z
简化
r
an r 2 at r
动解(：如相小图比球)可的。忽重求略力球与的冲反击弹力速度和棒m的2角速度u.
m1 、 m2组成的系统： M 外 0 角动量守恒
2l
设小球反弹速度为v, 棒的角速度为
m1ul J m1vl （以顺时针为正）
小球与棒完全弹性碰撞:
1 2
m1u 2

1 2
m1v2

1 2
J2
kg·m2 和 J＝20 kg·m2．开始时，A轮转速为600
rev/min，B轮静止．C为摩擦啮合器，其转动惯量
可忽略不计．A、B分别与C的左、右两个组件相
连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速而A轮
减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，
求： (1) 两轮啮合后的转速n； A
B
(2) 两轮各自所受的冲量矩． C
求滑轮的角加速度β及各绳中 m2
的张力T1、T2. 解：设m1向下运动
T2
T1
m2 m1
m1
m1g T1 m1a1 1 T2 m2g m2a2 2
m2 g
m1g
T2
T1
T1R1 T2R2 J (3)
a1 R1 4 R2
R1
a2 R2 5
解：细棒质量密度为 m l
在棒上取长为d x 的质量元 o
dm dx
A
dx
dm的转动惯量 dJoc x2dm B
cx x
Joc
x2dm
m
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 ml2 12
J AB
l 2 l
2
(
l 2

x)2
m dx l

1 ml2 3
3.平行轴定理
同，反之则相反
b.当 m1R1 m2R2 时， 0 即滑轮保持静止或
匀速转动
c.当R1 R2 时，则为定滑轮时的情况
§3-3 角动量及角动量守恒定律
一.冲量矩——力矩的时间积累 Mdt
单位: N m s
定义：刚体的角动量
L

J z
角动量又称动量矩，因为：

mi
Ri
2
2

2
2
i
mi Ri2
则刚体的转动动能
Ek

1 2
J z 2
z
Ri
mi Pi
二.力矩的 功 dA F dr
Ft
dr
F sin rd
Md
z
O
d

r
dr
F
P
A 2 Md
讨论： 1
恒力矩的功: A M M 2 1
m1 m2
g
m1 m2 M 2
T1

( 1)m2 M
m1 m2 M
2 2
m1g
T1

( 1)m1
m1 m2

M
M2
2
m2
g
[例2]在半径分别为R1和R2的
阶梯形滑轮上反向绕有两根 轻绳，各挂质量为m1、m2的
R2
R1
物体。如滑轮与轴间的摩擦
不计，滑轮的转动惯量为J。
zN
以质心C为坐标原点

设对Cz轴的转动
d
m
惯量为Jc
对MN 轴的转动惯量为
C
y
：
J MN

JC
md2
x
----平行轴定理
M
*MN为任意空间直线
例3：圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J =
L R2dm = R2
0
dl
dm = mR2 R
m
O
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm= σds
=
m πR2
m
ω
m
r2 r1
花样滑冰 跳水 体操等
[例1]质量为m，长为L的均匀细棒，竖直悬 挂于一水平光滑轴，现用力F 打击棒的中部 如图，打击时间为t .
求：打击后棒的角速度。
解：由角动量定理
M t J

即F L t 1 mL2 0
F
23
3Ft
2mL
例2：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人沿 转盘走一周，求盘相对地转动的角度
,现有一质量m的子弹以水平速度 v0 射入
杆中部并嵌在杆中，求(1)子弹射入瞬间杆 转动的角速度（2）杆能摆动的最大角度φ.
解： （1）以m、M为系统
子弹射入的瞬间过程系 v0
o
统对o 轴的合外力矩为
φ
零.
由角动量守恒定律
mv 0

L 2

1 3
ML2

m
L 2
2


----刚体转动的角动量定理
三.角动量守恒定律
当 M z 0 则 Lz J z =常量
----刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律对J 可变化的非刚体系统 或非刚体个体同样适用。
当 M z 0 J11 J22 =常量
J 时, ；反之, J 时，
演示： 茹可夫斯基凳
d
J z dt
---定轴转动定律
反映了力矩的瞬时作用规律
*转动惯量的物理意义:Jz表示刚体转动惯性的大小
三、转动惯量的计算
o
1.对分离的质点系：J z mi Ri2
i
l lc
2.对质量连续分布的刚体：
dJ z r2dm
J z r2dm
o c
r dm
例1：如图，质量为m 的四个小球由钢性轻杆连
3.2 力矩、刚体定轴转动定律
一.力矩
z
翻倾
F//
任意
F
d
r

A
力的有效性分析
F
有效
F F F//
定轴
定义: F 对转轴的力矩
大小： M z Fd
若 F垂直转轴，力矩
大小：M z Fd Fr sin 方向:沿z轴，由 r 转向 F
的右手螺进的方向
即
Mz rF
v r 转动平面
匀变速转动
当 c
0 t


0
0
t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀 加速直线运 动公式相似
例：一飞轮作匀减速转动，在4s内角速度由