数学实验报告
1.题目：
某容器盛满水后，底端直径为d0的小孔开启（如图1），根据水力学知识，当水面高度为h时，谁从小孔中流出的速度为v=0.6*（g*h）^0.5（其中g为重力加速度，0.6问哦小孔收缩系数）
1）若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底直径都为1.2m，小孔直径d为3cm，为水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。
2）若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高1.2m，小孔直径d为3cm，由底端（记x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表1所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。
1
表
分析：2.由题知，水从小孔中流出，不仅与容器有关，还与水流速度v=0.6*（2*g*h）^0.5有关。
第一小题容器是圆锥形，比较规则，但是由于水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决。
由（1）知，水面直径等于水深。
水深为h时，流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，
/4*h^2*dh
π*(d0/2)^2*dt=π0.6*(g*h)^(0.5)*
则水深下降dh所需时间：dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π
/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]
水深由1.2m至0定积分得水从小孔流完的时间：T（其中已知d=0.03m，
g=9.8m*s(-2）
对于第二问：设两分钟（120S）后水深为X m ，由
dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6*(π/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] 则263.93-120 =X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]
以d=0.03m，g=9.8m*s(-2代入上式得水深：X
第二小题容器为倒葫芦形，比较不规则，比较复杂，不仅要考虑水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决，还要注意表1的倒葫芦形的不断变化，水深的高度变化是不规则的但仍可以用微积分。
由（2）知容器高1.2m，水深为h时，流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，由于不同高度，倒葫芦形半径不同，用欧拉方程和龙格—库塔方法则水深下降dh所需时间：dt=t(k+1)-t(k)=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π
/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]
然后利用循环for k=1：length(L)，t(k)=((h(k+1)-h(k))*(π/4)*d(k)^2)/(0.6*(π
/4)*d^2*(g(1.2-h(k)))^0.5)，T=sum(t).可以求得水从小孔流完的总时间。
对于第二问：设两分钟（120S）后水深为X m ，由
S=0,利用条件，当120-s<0.0001时s=s+t(k)，x(k)
把d=0.03m，g=9.8m*s(-2)代入上式得水深：X
相关资料：龙格—库塔方法求解
龙格—库塔方法思想：用[v,v]上若干个点的倒数，对他们做线性组合得到n1n?平均斜率，就可能得到更高阶的精度，这就是龙格—库塔方法思想。
为了演算方便本课程设计采用二阶龙格—库塔公式，即求[v,v]上的二n1n?个倒数，将他们加权平均得平均斜率。
??(v)?f(v,Hh) 我们设有形如：H)v?H(00f(h,v)满足HipscHitz其中函数条件，既满足存在常数H使
f(v,H)?f(v,H)?LH?H2112??v?1??)l(0v去倒数作线性组合和按照下式在nn
??k)(k??HH?h?2n21n?11?k?f(h,v)?1nn??????,1?),y?(?kfvh,?hk0?21nn
（3）
???为待定系数，确定他们的准则是使（3）式有尽量高的精度。
注意到其中,,21
的假设，并对作二元泰勒展开，且利用)vH?H(k nn2???，（3）式可写为：
f,Hf*?Hk?H??f Hv1??k?();k?H(v)?hH2111n2n??;?H(v))?f(v,Hk n1n2?????)h?O(,H(v,H(v))?))hkff(v?)l,H(v?( hk)?Hv(v)?(hfvk?nh1nvnn1nnn22????)hO((H?v(v)?)hH?nn3???????于
是)(h)?v)hH)H?H(v?(??O)hH((v n1nn?12n2故得截断误差为
123???????)(h)H?O?)hH((v)?(?vh?)?TH(v?H(1?)n2n?n?111n?n1221?????,1??就可以使（3）式具有2 阶精度。
容易看出只要：2122
???时的龙格—库塔方以上分析了龙格—库塔方法思想，下面用1?1/2,??21上解决本课程设计题目：法即为改良后的欧拉公式法在MATHAB
模型方程：3..d=0.03m
g=9.8m*s(-2)，h=1.2m，d0=1.2m，开始条件所需dhπ/4)d^2*(gh)^0.5，则
水深下降水深为h时，流量Q为0.6(
/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] πdt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(时间：），g-9.8m/sT至0定积分得水从小孔流完的时间：（其中已知d=0.03m水深由1.2m X m ，由120S 设两分钟（）后水深为
/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] /4)h^2*dh]/[0.6*(πdt=-[(π
263.93-120 =X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]
则
X 水深：d=0.03，g=9.8代入上式得以
：所需时间dh 用欧拉方程和龙格—库塔方法则水深下降π
/4)h^2*dh]/[0.6(dt=t(k+1)-t(k)=-[(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]
k1=0.15*sqrt(g*(x(n)))*d^2/(-43.6359*x(n)^8+213.0457*x(n)^7-414.873*x(n)^6+41 0.2075*x(n)^5-218.8936*x(n)^4+62.553*x(n)^3-8.3215*x(n)^2+0.49619*x(n)+.0148 92)^2;
k2=0.15*sqrt(g*(x(n))-h*k1)*d^2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)^8+213.0457*(x(n)-h*k1)^7
-414.873*(x(n)-h*k1)^6+410.2075*(x(n)-h*k1)^5-218.8936*(x(n)-h*k1)^4+62.553*(
x(n)-h*k1)^3-8.3215*(x(n)-h*k1)^2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892)^2;
x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2;
4.编译程序:
(1)
g=9.8;
d=0.03;
syms h
y=-h^(1.5)/(0.6*d^2*sqrt(2*g));
T=int(y,h,1.2,0);
eval(T)
x=((T-120)*(1.5*d^2*sqrt(2*g)))^(0.4);
eval(x)
运行结果如下
>> sy1
ans =
263.9316
ans =
0.9416
(2)
clear;
g=9.8;
d=0.03;
k1=0;
k2=0;
h=0.4;
x(1)=1.2;
for n=1:1000
k1=0.15*sqrt(g*(x(n)))*d^2/(-43.6359*x(n)^8+213.0457*x(n)^7-414.873*x(n)^6+41．0.2075*x(n)^5-218.8936*x(n)^4+62.553*x(n)^3-8.3215*x(n)^2+0.49619*x(n)+.0148 92)^2;
k2=0.15*sqrt(g*(x(n))-h*k1)*d^2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)^8+213.0457*(x(n)-h*k1)^7
-414.873*(x(n)-h*k1)^6+410.2075*(x(n)-h*k1)^5-218.8936*(x(n)-h*k1)^4+62.553*(
x(n)-h*k1)^3-8.3215*(x(n)-h*k1)^2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892)^2;
x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2;
end
x(300)
t=0:h:1000*h;
plot(t,x);
axis([0,400,0,1.21]);
运行结果如下
>> sy2
ans =
1.0278
1.2
10.80.6400300350250500100150200点头绪0.94m2min263s水从小孔流完需要，时水面高度是总结：5.。