数学实验报告1.题目：某容器盛满水后，底端直径为d0的小孔开启（如图1），根据水力学知识，当水面高度为h时，谁从小孔中流出的速度为v=0.6*（g*h）^0.5（其中g为重力加速度，0.6问哦小孔收缩系数）1）若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底直径都为1.2m，小孔直径d为3cm，为水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。

2）若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高1.2m，小孔直径d为3cm，由底端（记x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表1所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。

图1X/m0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2D/ m 0.030.050.080.140.190.330.450.680.981.11.21.131.0表12.分析：由题知，水从小孔中流出，不仅与容器有关，还与水流速度v=0.6*（2*g*h）^0.5有关。

第一小题容器是圆锥形，比较规则，但是由于水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决。

由（1）知，水面直径等于水深。

水深为h时，流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，0.6*(g*h)^(0.5)*π*(d0/2)^2*dt=π/4*h^2*dh则水深下降dh 所需时间 ：dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]水深由1.2m 至0定积分得水从小孔流完的时间：T （其中已知d=0.03m ，g=9.8m*s(-2）对于第二问：设两分钟（120S ）后水深为X m ，由dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6*(π/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] 则263.93-120 =X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]以d=0.03m ，g=9.8m*s(-2代入上式得 水深：X第二小题容器为倒葫芦形，比较不规则，比较复杂，不仅要考虑水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决，还要注意表1的倒葫芦形的不断变化，水深的高度变化是不规则的但仍可以用微积分。

由（2）知容器高1.2m ，水深为h 时，流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，由于不同高度，倒葫芦形半径不同，用欧拉方程和龙格—库塔方法则水深下降dh 所需时间 ：dt=t(k+1)-t(k)=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]然后利用循环for k=1：length(L)，t(k)=((h(k+1)-h(k))*(π/4)*d(k)^2)/(0.6*(π/4)*d^2*(g(1.2-h(k)))^0.5)，T=sum(t).可以求得水从小孔流完的总时间。

对于第二问：设两分钟（120S ）后水深为X m ，由 S=0,利用条件，当120-s<0.0001时s=s+t(k)，x(k)把d=0.03m ，g=9.8m*s(-2)代入上式得 水深：X 相关资料：龙格—库塔方法求解龙格—库塔方法思想：用[v n ,v 1+n ]上若干个点的倒数，对他们做线性组合得到平均斜率，就可能得到更高阶的精度，这就是龙格—库塔方法思想。

为了演算方便本课程设计采用二阶龙格—库塔公式，即求[v n ,v 1+n ]上的二个倒数，将他们加权平均得平均斜率。

我们设有形如： {0)(),()(H v H h v f v H =='其中函数),(v h f 满足HipscHitz 条件，既满足存在常数H 使2121),(),(H H L H v f H v f -≤-按照下式在n v 和)10(≤<+ααl v n 去倒数作线性组合⎪⎩⎪⎨⎧≤<++==++=+1,0),,(),()(12122111βαβαλλhk y h v f k v h f k k k h H H n n nn n n（3）其中αλλ,,21为待定系数，确定他们的准则是使（3）式有尽量高的精度。

注意到)(n n v H H =的假设，并对2k 作二元泰勒展开，且利用H v f f H H f H k *,1+=''='=，（3）式可写为：)()()()())(,())(,()())(,(;))(,();()(22112122111h O v H h v H h O v H v f hk v H v hf v H hk v H l v f k H v H v f k k k h v H H n n n n h n n v n n n n n n n +''+'=+++'=++='==++=+αααααλλ于是)()()()()(32211h O v H h v H h v H H n n n n +''+'++=+αλλλ故得截断误差为)()()21()()1()(32221111h O v H h v H h H v H T n n n n n +''-+'--=-=+++αλλλ容易看出只要： 就可以使（3）式具有2阶精度。

以上分析了龙格—库塔方法思想，下面用1,2/121===αλλ时的龙格—库塔方法即为改良后的欧拉公式法在MATHAB 上解决本课程设计题目：3..模型方程：开始条件h=1.2m ，d0=1.2m ，g=9.8m*s(-2)，d=0.03m水深为h 时，流量Q 为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，则水深下降dh 所需 时间 ：dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] 水深由1.2m 至0定积分得水从小孔流完的时间：T （其中已知d=0.03m ，g-9.8m/s ） 设两分钟（120S ）后水深为X m ，由dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6*(π/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] 则263.93-120 =X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]以d=0.03，g=9.8代入上式得 水深：X用欧拉方程和龙格—库塔方法则水深下降dh 所需时间 ：dt=t(k+1)-t(k)=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]k1=0.15*sqrt(g*(x(n)))*d^2/(-43.6359*x(n)^8+213.0457*x(n)^7-414.873*x(n)^6+410.2075*x(n)^5-218.8936*x(n)^4+62.553*x(n)^3-8.3215*x(n)^2+0.49619*x(n)+.014892)^2;1,21212=+=λλαλk2=0.15*sqrt(g*(x(n))-h*k1)*d^2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)^8+213.0457*(x(n)-h*k1)^7 -414.873*(x(n)-h*k1)^6+410.2075*(x(n)-h*k1)^5-218.8936*(x(n)-h*k1)^4+62.553*( x(n)-h*k1)^3-8.3215*(x(n)-h*k1)^2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892)^2;x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2;4.编译程序:(1)g=9.8;d=0.03;syms hy=-h^(1.5)/(0.6*d^2*sqrt(2*g));T=int(y,h,1.2,0);eval(T)x=((T-120)*(1.5*d^2*sqrt(2*g)))^(0.4);eval(x)运行结果如下>> sy1ans =263.9316ans =0.9416(2)clear;g=9.8;d=0.03;k1=0;k2=0;h=0.4;x(1)=1.2;for n=1:1000k1=0.15*sqrt(g*(x(n)))*d^2/(-43.6359*x(n)^8+213.0457*x(n)^7-414.873*x(n)^6+410.2075*x(n)^5-218.8936*x(n)^4+62.553*x(n)^3-8.3215*x(n)^2+0.49619*x(n)+.014892)^2;k2=0.15*sqrt(g*(x(n))-h*k1)*d^2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)^8+213.0457*(x(n)-h*k1)^7-414.873*(x(n)-h*k1)^6+410.2075*(x(n)-h*k1)^5-218.8936*(x(n)-h*k1)^4+62.553*(x(n)-h*k1)^3-8.3215*(x(n)-h*k1)^2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892)^2; x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2; endx(300)t=0:h:1000*h; plot(t,x);axis([0,400,0,1.21]);运行结果如下 >> sy2ans =1.02780501001502002503003504000.20.40.60.811.2水从小孔流完需要263s ，2min 时水面高度是0.94m 点头绪5.总结：数学实验设计和数学建模有点相似，把实际问题用理论解决，这个题目开始有点兴趣，不过对于第二问时有点难住我，自己把相关知识好好理一下，才有点头绪，在运用的同时更好的掌握知识。