其值域不越出[a, b]，则有
b
a f (x)dx f [ (t)] '(t)dt
这个公式叫定积分的换元公式。
证 设F(x)是f (x)的一个原函数，则
b
a f (x)dx F(b) F(a)
另一方面，令 (t) F[ (t)]，有 '(t) dF dx f (x) '(t) f [ (t)] '(t)
设f (x)在[a,b]上连续，x [a,b],考察f (x)在 [a, x]上的定积分
x
a f (t)dt
对于[a, b]上每一个x，都得到定积分的一个
对应值，所以 x f (t)dt是定义在[a,b]上的一 a
个函数，记作
x
(x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数
定理1 如果函数 f (x)在区间[a,b]上连续，则积分上
所以 '(x) f (x) (a x b)
若x
a,取x
0,
可证
'
(a)
f (a);
若x
b,取x
0,
可证
'
(b)
f (b);
故有 '(x) f (x) (a x b)
定理2 如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，则函数
x
(x) a f (t)dt
就是f (x)在[a,b]上的一个原函数。
证 因F(x)是f (x)的一个原函数， 又
x
(x) a f (t)dt
也是f (x)的原函数， 所以
F(x) (x) C (a x b)
x
a f (t)dt C
a
F (a) (a) C a f (t)dt C C
于是
b
b
F (b) f (t)dt C f (t)dt F (a)
x
所以
1 1 dx ln | x |
2 x
1 2
ln
1
ln
2
ln
2
例4 计算正弦曲线 y sinx 在[0, π]上与 x 轴所围
成的平面 图形的面积。
解
A sin xdx
0
y y sin x
cos
x
0
cos cos0
2
0
A
x
变上限积分的求导公式
d
(x)
f (t)dt f ((x)) '(x)
1
令 u cos x,则
d 1et2 dt d cosx et2 dt
dx cos x
dx 1
d du
u 1
e t 2
dt
ucos x
(cosx)'
（复合函数求导法）
eu2 ucos x ( sin x) ecos2 x ( sin x) sin xecos2 x
所以
lim
间[t1,t2 ]上的增量
s(t2 ) s(t1 )
所以
t2 t1
v(t)dt
s(t2
)
s(t1 )
注意到s'(t) v(t)，即位置函数s(t)是速度
函数v(t)的原函数。
猜想：设F(x)是f (x)在区间[a,b]上的原函 数,则
b
a f (x)dx F (b) F (a)
二、积分上限函数及其导数
第四节 微积分基本公式
• 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的 联系
0
s(t1 )
s(t2 )
s (t )
设位置函数为s(t ), 速度函数为v(t ), 在时间
间隔[t1,t2 ]内物体经过的路程是速度函数
v(t)在[t1,t2 ]上的定积分
t2 v(t)dt
t1
另一方面, 这段路程又是位置函数s(t )在区
dx a
u
F(u) a f (t)dt
u (x)
F(u(x)) d F(u) d u(x)
dx
du dx
例5
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
解 因x 0时，分子、分母的极限 均为0，
所以极限为 0 型未定式。 0
又
e1 t2 dt cos x e t2 dt
cos x
（在x与x x之间）
所以 (x x) (x) f ( )
x
x
因f (x)在[a,b]上连续，且在x与x x之间,
当x 0时, x, 于是
lim (x x) (x) lim f ( ) lim f ( ) f (x)
x0 x
x
x0
x
而 lim '(x) x0 x
这个定理一方面证明了连续函数的原函数的存 在性：任何连续函数都存在原函数。另一方面揭示 了定积分与原函数（不定积分）之间的联系，即可 通过原函数来计算定积分。
三、牛顿 莱布尼茨公式（微积分学基本定理） 定理3 如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，F (x)是
f (x)的任一原函数，则
b
a f (x(dx F (b) F (a)
限的函数
x
(x) a f (t)dt
在[a, b]上具有导数，且
'(x) d
x
f (t)dt
dx a
f (x)
(a x b)
即：积分对其上限的导 数等于被积函数在其上 限 处的值。
证 设x (a,b), x是增量，且 x x (a,b), 则
x x
(x x) a f (t)dt
于是
(x x) (x)
y
y f (x)
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
x f (t)dt
0
(x)
a
x
f ( )
x x b x
f ( )[(x x) x] （积分中值定理）
f ( )x
a
a
即有
b
f (t)dt F (b) F (a)
a
公式
b
a f (x)dx F (b) F (a)
叫做牛顿 莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式。
公式可简记为
b a
f
(x)dx
[F (x)]
b a
例1 求 1 x2dx 0
解 因1 x3是x2的一个原函数, 所以
3
1 x 2dx 0
1 3
x3
1et2 dt
cos x
lim
sin xecos2 x
x x0
2
x0
2x
1 lim sin x lim ecos2 x 2 x0 x x0
1 2e
定积分的换元法
定理 设函数f (x)在区间[a,b]上连续，函数x (x)
满足条件：
(1) ( ) a, ( ) b；
(2) (t)在[ , （] 或[ , ]上具有连续导数，且
1 0
1 3
例 2
求 3 dx 1 1 x 2
解
因arctanx是 1 的一个原函数, 所以 1 x2
3 dx
1 1 x 2
arctanx
3 1
arctan
3 arctan(1)
( ) 7
3 4 12
例 3
计算
1 1 dx
2 x
解 当x 0时，1 的一个原函数是ln | x | ，