h r1 r2 ( y r2 )3 3( r1 r2 ) h
h 0
h 3 3 h 2 2 ( r1 r2 ) ( r1 r1r2 r2 ) 3( r1 r2 ) 3
r2 r 时， 当上底半径r1 0 ，下底半径
1 2 则得圆锥的体积为V r h 。 3
2
4

6
1 2 a sin d a cos 2 d 6 2
2 2
4


二、体积
（一）平行截面面积为已知的立体的体积
设有 一 立 体 位于平面 x a , x b (a b) 之间，已知它被 过点 ( x , 0, 0) (a x b) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
例 4．求由 x 2 y 2 2 和 y x 2 所围成的图形分别
绕 x 轴 、 y 轴 旋转而成的旋转体的体积。 y x2 y2 2 2 y x 解：解方程组 2 y x
得交点 ( 1, 1) ，(1, 1) 。
1
o
1
x
V x ( 2 x )dx x dx
1
1
2
1
4
x2 y2 2
1 1 44 2 ( 2 ) . 3 5 15
3 5 1 x x 2 (2 x 2 x 4 )dx 2( 2 x ) 0 3 5 0
1
1
V y ydy
0
1
2
1
( 2 y )dy
2
2
y
y x
2
V 。 积 为 A( x ) ，假定 A( x )是 x 的连续函数，求立 体 的 体 积
A( x)
a
x
b
x
A( x)
a
x
b
x
[a,b] 。在 [a,b] 上任取一 取 x 为积分变量，积分区间为
代表小区间 [ x , x dx ] ，对应的立体中一薄片的体 积 V
近似等于底面积 为 A( x ) ，高 为dx 的柱体的体积 A( x )dx ，
例2. 计算心形线
所围图形的面积 .
与圆
1 2 cos cos 2
1 (1 cos 2 ) 解: 利用对称性 , 所求面积 2 1 2 1 2 2 2 A a a (1 cos ) d 2 2 3 1 1 2 2 a a ( 2 cos cos 2 ) d 2 2 2 y 1 2 2 3 a a ( 2) 2 4 a 2a x o
解：如图选择坐标系，母线 AB 的方程为
h y 0 ( x r2 ) r1 r2 r1 r2 x y r2 h
V
h 2 h r1 r2 x dy ( 0 0 h
y
A(r1 ,h)
B(r2 ,0)
h
o
y r2 )2 dy

x
h h r1 r2 2 r1 r2 ( y r2 ) d ( y r2 ) r1 r2 0 h h
1 2 y 2
1
1 3 2 ( 2 y y ) 0 1 3
1
o
x
x2 y2 2
2 1 [(2 2 2 ) ( 2 )] 2 3 3
4 7 ( 2 ). 3 6
例5. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
1
例3. 利用对称性 , 则所求面积为 1 2 a cos2 d 2
y
4
a x
a 2 4 cos 2 d (2 )
0

a sin 2
2
o
a2
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin 所围公共部分的面积 . 答案: A 2 0
o

R
y
的平面去截楔形，截得的截面是直角三角形，
1 1 2 2 故截面积为 A( x ) y ytan ( R x )tan ， 2 2 R R 1 2 2 3 2 V A( x )dx ( R x )tandx R tan. R R 2 3
x
(二)旋转体的体积
即体积微元
所求体积为
dV A( x )dx ，
V A( x )dx 。
a b
R 的正圆柱体，被通过其底的直径 例 1．设有半径为
而与底面交成的 平 面所截，求截得的圆柱楔的体积。
解：如图建立坐标系，
则底圆的方程为 x y R 。
2
2
2
R
ytan
x
y
x[ R, R] ，用过点 x且 垂 直 于 x轴
所围图形绕 x 轴旋转而
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
o
则
x
ax
V 2 y 2 dx
0
a
(利用对称性)
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 b2 2 1 3 a 4 2 2 a x x ab 2 3 0 3 a
7
方法2 利用椭圆参数方程
特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V
b a
[ f ( x)]2 dx
y
y f ( x)
当考虑连续曲线段
o
a
x
b
x
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V [ ( y )] d y
c
d
2
d y c o
x ( y)
x
例2计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.
则
V 2 y 2 dx 2 ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
8
r1 ，下底半 径 为 r2 ， 例 3．已知圆台的上底半 径 为
高 为h ，求它的体积。
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2 a 0
0
y dx
a (1 cos t ) a(1 cos t ) d t
2 2
2
y
o
3 a sin 6 0

2
a
2 a x
利用对称性
2
3 a (1 cos t )3 d t 0

16
3

32 a 3 2 sin 6 u d u 32 0 2 3