的间距为 。能量本征值只能取一些不连续的值。 2）最低能态的总能量（或称之为零点能）为：
1 1 E0 h 2 2
当温度趋于绝对零度时，电磁场的简谐 振动或晶体点阵上的原子振动处于基态
对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着 量子的束缚态是不可能为零的。 3）位于谐振子势井中的质点， 量子力学的结果：当n=0时，在x=o处粒子出现的几率最大。
d 2 ( x) V ( x) E ( x) 2 2m dx
2
V ( x)
I
V 0
a 2
Ⅰ为无限深势 阱中势能是常 量，粒子不受 力做自由运动
III
V
a 2
x
d 2 ( x) 2m(V E ) ( x) 0 2 2 dx
I区中 V 0
d 2 2mE 2 0 2 dx
2
求出本征函数ψ 的表 达式和 本征值E的数值
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
1 2 1 2 2 • 势能 V ( x) kx m x 2 2
哈密顿方程为：
势能函数是 一条抛物线
V ( x)
d 2 ( x) 1 2 kx ( x) E ( x) 2 2m dx 2
2mE E:动能>0 令 k 2
2
d 2 ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
通解为
( x) A cos kx B sin kx
II、III区中
V
d 2 ( x) 2m(V E ) d 2 ( x) 2 ( x ) ( x) 0 2 2 2 dx dx
1 2 kx 2 Ψ
2 2
(ξ )
ξ
ξ
ξ
在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零
Ψ
2 3
(ξ )
Ψ
2 4
(ξ )
Ψ 5(ξ )
2
1 U kx 2 2
ξ
ξ
ξ
微观粒子运动的特点：它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。 这在经典理论看来是不可能出现的！
• 物理意义：
1）量子谐振子的能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级
经典力学则认为：当n=0时，在x=o处粒子出现的几率最小。
当量子数n很大时与经典力学的结果趋于一致。
例题1： 设想一个质量为m=1g的小球悬挂在一个小轻弹
簧下做振幅为 A=1mm的简谐振动。弹簧系数为
k=0.1N/m。按量子理论计算：
1）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？
2）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？
1 1 E0 h 2 2
零点能
V ( x)
n4 n3 n2 n 1 n0
7 2 5 2 3 2 1 2
9 2
这也意味着，量子束缚态的动能不 可能为零，与经典的情况不相同！
x
谐振子的几率分布
Ψ 0(ξ )
2
U
1 2 kx 2
Ψ (ξ )
2 1
U
波函数的图形
ψ(ξ)=A0e
-1/2ξ2
ψ(ξ)=A1ξe-1/2ξ
2
ξ
n=0 n=2
n=1
( x) ( x)
n=3
偶函数
波函数的空间 对称是偶性的， 就称宇称是偶 性的—偶宇称
奇函数 奇宇称
n=4 n=5
由
2E


2n 1
所以谐振子的能量本征值为:
1 En ( n ) 2
2
x
谐振子—势能为V(x)、 质量为m的粒子
作变量代换，令 x, 待定常数，方程化为
2 d k 2 2 2 E 2 2m d 2 2
d 2 2mE mk 2 [ 2 2 2 4 ] 0 2 d
d 2 2mE mk 2 [ 2 2 2 4 ] 0 2 d
a a ( ) ( ) 0 2 2
即有
a a A cosk 2 B sin k 2 0 a a A cosk B sin k 0 2 2
mk 由于α 待定， 令 2 4 1
1 2 mk 1
变系 k
d 2 2 [ ] 0 2 d
k m
谐振子的角频率
当 2n 1时, 有解
1 2 2
n ( ) H n ( )e
n ( ) H n ( )e
其通式为：
1 2 2
Hn ( ) : 厄米多项式
2
n d n 2 H n ( ) (1) e e n d
n 0,1,2,
前5个厄米多项式为：
H0 ( ) A0
H1 ( ) A1
H2 ( ) A2 (1 2 2 ) H3 ( ) A3 (3 2 3 ) H4 ( ) A4 (3 12 2 4 4 ) H5 ( ) A5 (15 20 3 4 5 )
• 例题2：
• HCL气体能强烈吸收波长为3.465um的红外辐射。
这是HCL分子振子吸收入射光子能量的结果。 求：
1）振子的振动频率；
2）绝对零度时一摩尔HCL气体的总振动能量。
2、一维无限深势阱
目的：了解势井中量子状态的特点， 分立能级、零度能等。 II • 如图，Ⅰ中，势能为0； V • Ⅱ、Ⅲ中，势能为∞ 不分区的哈密顿方程
哈密顿方程为：
其形式上的通解：
x
( x) Ce x De x
依据波函数的边界条件
0 e x D 0 0 x 0 0e C ↑
x
由于 就有上式
↓
() 0
表明：势阱外的波函数为0
势井中波函数 ( x) A coskx B sin kx ，在阱壁上为0， 所以边界条件为：
§2.5 定态薛定谔方程解的算例
目的：通过对解的讨论，了解量子力学体系的特征及其 物理意义 • 定态薛定谔方程问题，就是求解势能不随时间改变条件下 的薛定谔方程，就是求解哈密顿方程
H ( x) E ( x)
在一维条件下
d2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx