当n给定，l的可取值为0,1,2,…,n-1共n个; 当l给定，ml的可取值为0,±1,±2,…,±l共2l+1个; 当(n,l,ml)给定，ml的可取值为±1/2共2个. 在同一主量子数为n的壳层上，可能有的最多电子数为：
由此可推得多电子的原子中各壳层所可能有的最 多电子数（见下表）。
原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数
量子数的意义：
1 主量子数n
氢原子只能处在一些分立的状态，用主量子数，角 量子数，磁量子数来描述, 取值如下
主量子数决定着氢原子的能量，E 与n 的依赖关系与波尔理论相同。
2 角量子数l
角动量有确定值，为
角动量是量子化的，叫轨道角动量。习慣用小写字母表示电子具有某一轨道角动量 的量子态，
3 磁量子数ml 由波函数 Rnl(r)Ylm(,) 描写的定态，不但具有
s 是自旋量子数，只能取1/2。 还假定自旋角动量的空间取向也是量子化的，即 s
在Z方向的分量为：
是自旋磁量子数。 完全描述电子的运动状态，需要四个量子数：
电子自旋及空间取向量子化 z
2
原子的壳层结构
在多电子的原子中，电子的分布是分层次的，电子
的分布层次叫电子壳层。n=1,2,3,4,…,的壳层依次叫 K,L,M,N,…壳层。每一壳层上，对应l=0,1,2,3,…可分 成s,p,d,f…分壳层。电子在壳层中的分布遵从下面两条
l0 1 2 ns pd 1K 2(1s)
34
5
6 Zn
f
gh
i
2
2L 2(2s) 6(2p)
8
3M 2(3s) 6(3p) 10(3d)
18
4N 2(4s) 6(4p) 10(4d) 14(4f)
32
5O 2(5s) 6(5p) 10(5d) 14(5f) 18(5g)
50
6P 2(6s) 6(6p) 10(6d) 14(6f) 18(6g) 22(6h)
为止。下图给出了一些多电子原子结够的示意图。
L
L
K
K
K
2 He
本次课内容
§19-8 量子力学简介（2）
三 薛定谔方程解一维势阱问题 四 对应原理 五 一维方势垒 隧道效应
§19-9 氢原子的量子理论 §19-10 多电子原子中的电子分布
课本 pp266—289； 练习册 第二十单元
§19-8 量子力学简介（2）
定态薛定谔方程
一维定态薛定谔方程
求解定态薛定谔方程，就是在已知势函数的条件下，求出体系可能有的能 量值和波函数。
，于是
即: 由此得到粒子的能量En
En 称为本问题中能量E 的本征值。势阱中的粒子,其能量
是量子化的。
当 n = 1,
E1即基态能级
n 叫作主量子数
势阱中粒子的能级图
E
o
ax
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
得到 最后得到薛定谔方程的解为：
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即 能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象， 经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。 电子(m=9.1×10-31千克)：
1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）
发现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分
为两束。
S
原子炉 准直屏
N 磁铁
§19-10 多电子原子中的电子分布
1925年，乌仑贝克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密特 (S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。由自旋产生的角动 量 的大小是量子化的，其值为
解：已知无限深势阱中粒子的波函数和能量为
则
多次测量能量(可能测到的值) 能量的平均值
概率各占1/2
§19-9 氢原子的量子理论
一 氢原子定态薛定谔方程的求解
氢原子由一个质子和一个电子组成，电子受质子库仑电场作用而绕核运动 （质子静止）。电子的状态由波函数描述，波函数满足定态薛定谔方程：
这里
，（1）式可写成
确定的能量和角动量的大小，而且具有确定的Lz(角动
量在轴方向的分量)
角动量的分量也只能取分立值。空间取向量子化示意图源自Lz h=m l0.
0
0
0
l=0
l=1
l=2
l=3
二 氢原子中电子的径向几率分布
2p 3p
1s 2s 3s
4p
r
4s
r
3d 4d
r
氢原子中电子的角向几率分布
z
z
y
y
z y
斯特恩-盖拉赫实验
采用球坐标： 球坐标下： （2）式则为： 分离变量，令
代入方程（3）可得： 分离变量得 和
令
，（5）再分离变量式为：
即
和 （5b ）的解是
的单值性要求
（5a ）是勒让德方程，其解是勒让德多项式。为了使
和
时， 为有限，必须限定
（4）是径向方程，可写为：
径向方程用级数法求解。
若E>0,能量连续分布，自由电子情形； 但E<0, （束缚态），波函数标准条件要求
72
7Q 2(7s) 6(7p) 10(7d) 14(7f) 18(7g) 22(7h) 26(7i) 98
2 能量最小原理 原子系统处于正常态时，各个电子趋向于占有最
低能级。能级越低，相应壳层离核越近，首先被电子
填满，其余电子依次向未被占取的最低能级填充，直
到所有 Z 个核外电子分别填入可能占取的最低能级
V (x ) 8 8
三 薛定谔方程解一维势阱问题
质量为m 的粒子在外场中作一维运动，势能函数 为
定态薛定谔方程为：
x=0 x=a
当 x < 0 和 x > a 时，
求解方程（1）
(1)式可写成
令
代入上式得：
此方程的通解为： 由于阱壁无限高，所以
由式（1）得 B = 0 ，波函数为：
由式（2）得
①若势阱宽a=10Å，则 En=0.75neV, 量子化明显； ②若a=1cm,则En=0.75×10-14eV ,量子化不明显。
2 能量为En的粒子在 x-x+dx 内被发现的概率:
波函数
n=4
几率密度分布
n=3
n=2
n=1
0
a0x
a
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为
多次测量其能量。问 每次可能测到的值和相应概率？ 能量的平均值？
基本规律： 1 泡利(W.Pauli)不相容原理
原子中不可能同时有两个或两个以上的电子处于完全 相同的状态（原子中不可能同时有两个或两个以上的电子 具有四个相同的量子数）。
例：基态氦原子核外两电子都处于1s态，其量子态
(n ,l ,ml ,,ms)分别为( 1,0,0,±1/2 )
利用泡利不相容原理可计算各壳层所可能有的最多电子数: