定联合分布。
y
y=x
0
1
x
x
当 0 x 1
f X (x) f (x , y)dy
2 dy 2x
0
当 xother f X (x) 0
fX (x)
例2.
上服从均匀分布,
密度
和
解:
的概率密度为
y
y=x
0
1
x
当 0 y 1
fY ( y) f (x , y)dx
1
2 dx 2(1 y)
解:
关于 的边缘分布函数为
同理，
二、 离散型随机变量的边缘分布律
设 ( X ,Y )的分布律为
P{X xi ,Y yj} pij (i, j 1,2, )
则( X ,Y )关于 X 的边缘分布律为
P{X xi} P{X xi , (Y y j )}
j 1
P{X xi ,Y y j }
6 dy
x2
o
6(x x2 )
当 xother f X (x) 0 合并即可
fY ( y)
f
(x,
y)dx
y
6dx 6(
y
0,
y y),
1x
0 y 1, 其它.
注：联合分布 书69页：例5，6 说明：
边缘分布
① 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布；
② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确
0
1 pi ·
01 1/2 1/2
0
1
p·j
1/4 0 1/4
0
1/2 1/2
1/4 0 1/4
1/2 1/2
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若
是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f (x , y), 则:
FX (x) F(x, )
x
f
(u ,v) dv
du
f X (x) f (x, y)dy
y
当 y other fY ( y) 0
fY
(
y)
2(1
0
Байду номын сангаас
y), ,
0 y1 其它
6, 例4 已知 ( X ,Y ) ~ f (x, y)
0, 求 fX (x) , fY ( y) 。
x2 y x, 其它.
y y x2
解 当0 x1
1
yx
x
fX (x)
f (x, y)dy
同理
fY ( y) f (x, y)dx
分别是 ( X ,Y ) 关于X 和Y 的边缘概率密度。
例3. 设G (x, y) | 0 x 1, 0 y x, (X ,Y ) 在G
上服从均匀分布, 求 (X ,Y ) 关于 X 和Y 的边缘概率
密度 f X (x)和 fY ( y)
解:
的概率密度为
,i 1, 2 ,
j 1
记做 pi•
同理 P{Y y j } pi j , j 1 , 2 , 记做 p• j
i 1
通常用以下表格表示 ( X ,Y )的分布律和边缘分布律
例 将骰子抛两次，X—第一次出现的点数，
Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。
解：X Y 1 2 3
4
5
研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
一、 边缘分布函数
设
的联合分布函数为
分别
记
的分布函数为FX (x) 和 FY ( y)，称为关于 和
的边缘分布函数。
边缘分布函数的计算：
FX (x)
同理可得
F(, y)
F(x,)
例1: 已知
的分布函数为
求
关于
的边缘分布函数
和
问
各服从什么分布？
6
1
2
3
4 5 6
例2、已知随机变量X和Y的分布列分别为
X -1 0 1
Y
pi · 1/4 1/2 1/4
. p·j
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律
解、
P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0}
Y
=P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} X
从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1