x
x
求得两个边缘分布函数
例1：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 解：(1) 由分布函数的性质，可得
由（X, Y）的联合分布函数可得
9 16
3 8
3 8
1 4
1 16
1、二维离散型随机变量的边缘分布
P{X xi ,Y y j} pij ,i, j 1, 2,L
FX (x) F(x, ))
Y
1
2
3
P• j
11
5
18
18
2 18
X
1
2
3
Pi•
1
3
1 3
1 3
2、二维连续型随机变量的边缘分布 设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f (x,y)， 则 从而知，X为连续型随机变量且概率密度为
同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为
例4 设二维随机向量（X, Y）在区域 D {(x, y) | y2 x y} 上服从均匀分布，求关于X和Y的边缘概率密度 fX (x), fY (y).
pij
xi x j
例2 从三张分别标有1,2,3号的卡片中任意抽取一张， 以X 记其号码，放回之后拿掉三张中号码大于X的卡片 （如果有的话），再从剩下的卡片中任意抽取一张，以
Y 记其号码. 求二维随机变量（X, Y）的联合分布和边 缘分布. 解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i} (i 1, 2,3).
Y
当|x|>1时, f(x,y)=0,所以, fX(x)=0
当|注x|≤意1时:均, 匀f X分( x布) 的[ 边缘1x密2 度 不11x再x22 是一1x维2 ] 均f ( x匀, 分y)d布y-1
1 x2 1 x2
1
dy
2
1 x2
2
f X ( x)
1 x2 | x | 1
0
| x | 1
y 故（X, Y）的概率密度为
O x
例5 .设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).
解:(1)由题意得:
1
f ( x, y)
0
fX ( x)
f ( x, y)dy
x2 y2 1 其它
y 1 x2
第二节 边缘分布
X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关 于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x), FY(y)。当已知 (X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过
lim P{X x,Y y} lim F(x, y) F(x, )
y
y
lim P{X x,Y y} lim F(x, y) F(, y)
1
1 2
2
其中1, 2为正数。则称( X ,Y )服从参数为
1,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布，简记为
(
X
,Y
)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
边缘分布分别为
X
~
N
(1
,
2 1
),
Y
~
N
(2
,
2 2
)
解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i} (i 1, 2,3).
由此可得（X, Y)的联合分布和边缘分布如下：
Y
X
1
2
3
Pi•
1
1
3
1
0
0
3
1
2
6
3
1 9
P• j
11 18
1
1
6
0
3
1
1
1
9
9
3
5
2
18
18
关于X和Y的边缘分布如下：
e x>0时, fX(x)=
f ( x, y)dy
e ydy
x
x
所以,
e x x 0
f
X
(
x
)
0
x0
y=x 1/2
⑵
P{X+Y≤1}=
1/ 2
dx
1 x e y
0
x
1
e
1
2e
1 2
二维正态分布 的联合密度函数为
f
(x,
y)
1
2 1 2
1
2
exp{
1
2(1 2 )
[( x 1 )2 2 x 1 y 2 ( y 2 )2 ]}
同理, 2 fY ( y)
0
1 y2 | y | 1 | y | 1
1 X
y 1 x2
例6 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
e y , f (x, y)
0,
0 x y ⑴ 求随机变量X的密度函数； 其他 ⑵ 求概率P{X+Y≤1}.
解:(1)x≤0时, fX(x)=0;
e y