集合之间的关系-课件ppt
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3.关于空集∅:空集是不含任何元素的集合, 它既不是有限集又不是无限集,不能认为∅={0}, 也不能认为{∅}=∅或{空集}=∅.
{0}是由数0组成的单元素集,所以0∈{0},但 0∉∅,∅ {0},{∅}是由∅组成的单元素集,因此 ∅∈{∅},由于空集是任何集合的子集,所以∅⊆{∅}也 正确.
1.已知集合A={x|1<x≤4,x∈N},写出集合A 的所有子集和真子集.
解:∵A={2,3,4}, ∴集合A的所有子集是:∅,{2},{3},{4}, {2,3},{2,4},{3,4},{2,3,4}, 在上述子集中,除去集合A本身,即{2,3,4},剩 下的都是A的真子集.
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要点阐释
一、正确理解子集的概念 理解子集的概念,应注意以下几点: 1.“A是B的子集”的含义是:A的任何一个元素 都是B的元素,即由任意的x∈A,能推出x∈B. 2.当A不是B的子集时,我们记作“A B”(或 B⊉A),读作:“A不含于B”(或“B不包含A”). 3.任何一个集合是它本身的子集,记作A⊆A. 4.空集是任何集合的子集,即对于任一集合 A,有∅⊆A;空集是任何非空集合的真子集,即对于 任一非空集合B,有∅ B.
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误区解密 因忽略空集而出错
【例4】 设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+
3},若B⊆A,则实数a的取值范围是
()
A.{a|1≤a≤3}
B.{a|a>3}
C.{a|a≥1}
D.{a|1<a<3}
错解:∵B⊆A,∴2aa+≥32≤6 , 解得 1≤a≤3,故选 A.
题型二 集合相等及应用 【例2】 已知集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|, y}且A=B,求实数x与y的值. 解:由已知A=B={0,|x|,y},∴0∈A. 若x=0,则A={0,0,-y},不满足元素的互异性; 若y=0,则B={0,|x|,0},也不满足元素的互异 性. ∴只有x-y=0,即y=x. ∴A={x,xy,0}={x,x2,0}. ∴B={0,|x|,x}. ∴x2=|x|,∴x=0(舍),或x=1,或x=-1.
元素与集合之间的关系是从属关系(即属于或不 属于),而集合与集合之间的关系为包含(即包含、含 于、不包含、真包含、相等).
1.∈,∉用在元素与集合之间,表示从属关 系;⊆, (或 )用在集合与集合之间,表示包含 (真包含)关系.
2.a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素, 而{a}表示只有一个元素的一个集合,我们常称之为 单元素集.1∈{1},不能写成1⊆{1}.
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2.已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2}且A= B,求x,y的值.
解:∵A=B, ∴集合A与集合B中的元素相同, ∴xy==y22x 或xy==2y2x , 解得 x,y 的值为xy==00 或xy==10 或yx==1214,,
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2m-1<m+1 解得-1≤m<2, 综上得m≥-1.
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点评:(1)分析集合关系时,首先要分析、简化 每个集合.
(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法, 将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注 意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心 点表示,不含“=”用空心点表示.
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5.在子集的定义中,不能理解为子集A是B中 的“部分元素”所组成的集合.
6.注意子集的三种语言.
名称 记号 文字语言 符号语言 图形语言
若集合A的每 一个元素都是 若x∈A⇒ 子集 ⊆ 集合B的元 x∈B,则 素,则称A是 A⊆B B的子集
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典例剖析
题型一 子集、真子集的概念 【例1】 写出满足{a,b} A⊆{a,b,c,d}的 所有集合A. 解:由题设可知,一方面A是集合{a,b,c,d} 的子集,另一方面A又真包含集合{a,b},故集合A 中至少含有两个元素a,b,且含有c,d两个元素中 的一个或两个. 故满足条件的集合有{a,b,c},{a,b,d}, {a,b,c,d}.
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其 是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非 空集合而丢解,因此分类讨论思想是必须的.
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3.已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax-1 =0},若B A,求实数a的值.
解:A={x|x2-2x-3=0}={-1,3},且B A, ∴(1)当B=∅时,方程ax-1=0无解,∴a=0. (2)当 B≠∅ 时,则 B=1a, 若1a=-1,则 a=-1; 若1a=3,则 a=13. 综上,实数 a 的值为 0 或-1 或13.
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点评:(1)正确区分子集与真子集概念是解题的 关键.
(2)写一个集合的子集时,按子集中元素个数多 少,以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象.
(3)集合中含有n个元素,则此集合有2n个子集, 记住这个结论可以提高解答速度,其中要注意空集∅ 和集合本身易漏掉.
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3.解集合关系的问题时还需注意以下几个方 面:
(1)当A⊆B时,A=B或A B. (2)判断两个集合间的关系:①先用列举法表示 两个集合再判断;②分类讨论. (3)解数集问题学会运用数轴表示集合. (4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示.
验证得,当x=0,y=0时, A={2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾,舍去. ∴x,y 的取值为xy==10,, 或xy==1214.,
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题型三 子集的集合运用 【例3】 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m -1<x<m+1},且B⊆A.求实数m的取值范围. 解:∵B⊆A, (1)当B=∅时,m+1≤2m-1,解得m≥2. (2)当 B≠∅时,有-m+3≤1≤2m4-1 ,
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2.0,{0},∅,{∅}之间有什么关系? 答:(1)数0不是集合,{0}是含一个元素0的集 合,∅是不含任何元素的集合,{∅}是指以∅为元素的 集合. (2)不要把数0或集合{0}与空集∅混淆,同时注意 不要把空集∅错写成{∅}或{0}.它们之间的关系是: ∅≠{∅},∅∈{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0}. (3)从集合之间的关系看,∅⊆{∅},∅ {∅}.
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预习测评
1.集合{0,1}的子集有
()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:此集合的子集有∅,{0},{1},{0,1}共4个.
答案:D
2.若集合A={x|x≤2},则
()
A.0⊆A B.0 A C.{0} A D.{0}∈A
解析:∵0∈A,∴A、B两项不正确.
Hale Waihona Puke 错因分析:空集是任何集合的子集,忽视这一 点,会导致漏解,产生错误结论.对于形如 {x|a<x<b}一类的集合,当a≥b时,它表示空集,解 题中要引起注意.
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正解:①当 B≠∅时,则有22aa≤≥a2+3 , a+3≤6
解之得 1≤a≤3, ②当B=∅时,2a>a+3,解之得a>3. 综合①②得a≥1. 故应选C. 答案:C
集合之间的关系
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1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给 定集合的子集.
2.在具体情境中,了解空集的含义.
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自学导引
1.一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中 _任__意__一__个__元素都是集合B中的元素,我们就说这两 个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作 _A_⊆__B_(或_B__⊇_A_),读作“_A_含__于__B_”(或“_B_包__含__A__”).
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解析:(1)为元素与集合的关系,(2)(3)(4)为集 合与集合的关系.
易知a∈{a,b,c}; ∵x2+1=0在实数范围内的解集为空集, 故∅={x∈R|x2+1=0}; ∵{x|x2=x}={0,1}, ∴{0} {x|x2=x}; ∵x2-3x+2=0的解为x1=1,x2=2. ∴{2,1}={x|x2-3x+2=0}. 答案:(1)∈ (2)= (3) (4)=
4.不含任何元素的集合叫做_空__集__,记作 _∅__.
5._空__集__是任何集合的子集, _空__集__是任 何非空集合的真子集.
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自主探究
1.能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成 的集合?”
答:不能.这是因为当A=∅时,A⊆B,但A中 不含任何元素;又当A=B时,也有A⊆B,但A中含 有B中的所有元素,这两种情况都有A⊆B成立,所 以上述理解是错误的.
名称 记号
文字语言
符号语言 图形语言
真子集
若集合A是集合B的 子集,且B中至少有 一个元素不在A中, 则称A是B的真子集
若A⊆B且 A≠B,则
AB
相等
若集合A是集合B的
=
子集,且B也是A的 子集,则称A与B相
等
若A⊆B且 B⊆A,则 A=B