子集个数为 2n ， 真子集个数为 2n - 1
2018年1月15日星期一
课堂小结
1．概念：子集、集合相等、真子集
2．性质：
（1）空集是任何集合的子集,Φ A.
（2）空集是任何非空集合的真子集.
Φ
A（A≠Φ）
（3）任何一个集合是它本身的子集.
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n 2 （4）含n个元素的集合的子集数为 ；

空集是任何集合的子集.
空集是任何非空集合的真子集.
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4.由集合之间的基本关系，可以得到以下结论.
（）任何一 1 个集合都是它本身的子集，即 A A （） 2 对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 AC
(3)对于两个集合A，B，如果A B 且 B A ,那么 A=B (4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真
B={6，4，2}
共性:集合A 中元素与集合B的元素是一样的.
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3.集合相等与真子集的概念
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是 集合A的子集（B A），此时，集合A与集合B中 的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等. 记作 A＝B
即A = B A B, 且B A.
例如：集合{a,b,c}，则其子集为
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}, 共8= 23 3 个。其真子集有7= 2-1 个.
4
思考7n个元素，则其子集有多少个？ 如果一个集合中有四个元素，则其子集有多少个？ 真子集有多少个？
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1.1.2集合间的基本关系
思考
实数有相等关系、大小关 系，如5＝5，5＜7，5＞3， 等等，类比实数之间的关系， 你会想到集合之间的什么关 系？
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下面几个例子，你能发现两个集合间的关系 吗？ （1）设A为这棵苹果树上所有的烂苹果，B 为一颗苹果树上所有的苹果. （2）设A ={x|x是正方形} ,B ={x|x是平行四 边形} . （3）设A为高一(5)班所有的男生组成的集合， B为高一(5)班的全体学生组成的集合. （4）设A={a,b,c},B={a,b,c,e}.
非空子集数为 2n - 1 ；
真子集数为 2 - 1 ；
n
非空真子集数为 2 - 2 .
n
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教材习题答案
1.根据子集的定义，{a，b，c}的子集必是以其元素
a，b与c中的1个或2个或3个为元素的集合,又根据
子集的性质，空集 也是{a，b，c}的子集. 所以，集合{a，b，c}所有子集是{a}，{b}，{c}， {a,b}，{b,c}，{a,c}，{a,b,c}，
◆集合元素的性质:
⑴确定性: ⑵互异性: ⑶无序性:
◆重要的数集的表示:
N： 自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0)
Z ： 整数集
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
Q： 有理数集
R： 实数集
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（4） ） 1．下列命题正确的有（ （1）很小的实数可以构成集合；
与 的区别：前者表示集合与集合之间的关
注 意
思考2
a与{a}一样吗？有什么区别？
一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一 个元素的一个集合. a ={a}是错误的.
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下面两个集合，你能发现什么？
（1）A={x∣x是两条边相等的三角形}
B={x∣x是等腰三角形}
（2）A={2，4，6}
子集,即 Φ A
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例 写出集合 的所有子集，并指出哪些是它 ｛a,b｝ 的真子集.
解：集合{a,b}的所有子集为 真子集为 ,{a},{b}.
,{a},{b},{a,b}.
思考5
如果一个集合中有三个元素，则其子集有多少个？ 真子集有多少个？
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练习：用适当的符号填空
Z
R；
N
N+
◆注：任何一个集合是它本身的 子集即 A A
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2.在数学中，经常用平面上的封闭曲线的 内部代表集合，这种图称为Venn图.
A
B
思考1
包含关系{a} A与属于关系 a A有什么区别吗？
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系；后者表示元素与集合之间的关系.
共性:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素.
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1. 一般地,对于两个集合A,B,如果集合 A中任意一个元素都是集合B中的元素, 我们就说这两个集合有包含关系 , 称集 合A为集合B的子集,记作
A B(或B A)
读作：“A包含于B”（或“B包含A”）
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读作：A真包含于B（或B真包含A）
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注 意
由此可见，集合A是集合B 的子集，包含了A是 B的真子集和A与B相等两种情况. 与实数中的关系类比是：≤
思考4
方程 x2 +1 = 0 的实数根能够组成集合！ 那你们能找出它的元素吗？
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我们规定： 不含有任何元素的集合叫做空集， 记作 .
（2）集合 y | y x 是同一个集合；

2
2 1与集合 x, y | y x 1
3 6 1 （3） 1, , , , 0.5 这些数组成的集合有5个元 2 4 2 素；
（4）集合 x | y x 1 中的元素是全体实数
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2.用描述法表示所有偶数的集合为 x | x 2k , k Z _________________ 所有奇数的集合为 x | x 2k 1, k Z _________________
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思考3
A是A的子集对吗？类比实数中的结论思考一下. 对于实数a，有a≤a；则对于集合A，有 A A
结论：任何一个集合都是它本身的子集.
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如果集合A B，但存在元素x B，且x A，我 们称集合A是集合B的真子集，记作
A B(或B A)