第十章曲线积分与曲面积分习题简答
习题10—1
1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）L
I xds =
⎰
，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到(
,)22
B -之间的一段劣弧； 解: (1)2
+．
（2）(1)L x y ds ++⎰
Ñ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及
(0,1)B 所成三角形的边界；
解:(1)322L
x y ds -+=+⎰Ñ．
（3）
22L
x y ds +⎰
Ñ，其中L 为圆周22x y x +=；
解:22
2L
x y ds +=⎰Ñ．
（4）
2 L
x yzds ⎰
，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C
(1,2,3)D ；
解: 2
853
L x yzds =⎰．
2 求八分之一球面222
1(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。

解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
习题10—2
1 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明
x
y
z
(0,0,0)
A (0,0,2)
B (1,0,2)
C (1,2,3)
D x
y
o
A
B
C
(,)0L
Q x y dy =⎰。

证明：略.
2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）L
xydx ⎰
，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :
45
L
xydx =
⎰。

（2）
⎰
-++L
dy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到
2=x 时的点的一段弧；
解
3
4)()( 2222=
-++⎰
L
dy y x dx y x ．
（3）
,L
ydx xdy +⎰
L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；
解 0.L
ydx xdy +=⎰
（4）22L
xy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)
C a 到终点(0,)B a -的路径；
解 22L
xy dy x ydx -⎰
44
a π
=-。

（5）3223L
x dx zy dy x ydz +-⎰
，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；
解 3223L
x dx zy dy x ydz +-⎰
31
87
874
t dt ==-
⎰。

（6）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-⎰Ñ，L 为椭圆周22 1 ,
2 ,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩
且从z 轴正方向看去，L 取顺时针方向。

解: 2π=-。

习题10—3
1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:。