的余弦值是▲.
16.一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，
记取出的球的颜色有 种，则 ▲.
17.若实数 满足 ，则 的最小值是▲.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分）
在锐角 中，角 所对的边分别是 ， .
（Ⅰ）求角 的大小；
A. B. C. D.
9.已知数列 的前 项和是 ，前 项的积是 .
①若 是等差数列，则 是等差数列；
②若 是等比数列，则 是等比数列；
③若 是等差数列，则 是等差数列；
④若 是等比数列，则 是等比数列.
其中正确命题的个数有
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知空间向量 两两的夹角均为 ，且 ， .若向量 满足 ， ，则 的最大值是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
注意事项：
用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效.
二.填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为 的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第 个“三角形数”是 ，则第5个“三角形数”是▲，前6个“三角形数”的和是▲.
当 时，存在 ，使得 ，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，从而要使 有三个零点，必有 ，
∴ ，即 ，∴ ，
又∵ ，令 ，则
∵当 时， ，∴ 在区间 单调递增，
∴ ，即 ．-------------------------------------------11分
（3） ，
（Ⅱ）解法一：取 的中点 ，连结 ，
∵ ， ，
又侧面 底面 ，∴ 平面 ，
∴
又∵ ，
∴ 平面 ，------------------------------------------9分
∴
又 ，∴ ．--------------------11分
过点 作 于点 ，连结 ，由平面 平面 知， 平面 ，所以 是直线 与平面 所成角．-----------13分
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当 ，求直线 与平面 所成角的正弦值
解：（1）取 的中点 ，连结 ， ,--------------2分
由已知 ，且 ,
所以四边形 是平行四边形，-----------------------3分
所以 ，又 平面 ， 平面 ------------------6分
所以 平面 ；-----------------------------7分
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学（2020.11）
本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
D
B
D
B
D
C
C
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，பைடு நூலகம்36分.
11. 12.
13. 14.
15. 16. 17.
三、解答题
18.在锐角 中，角 所对的边分别是 ，已知
.
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）求 的取值范围.
解：（1）由已知得 ，---------------------------2分
A. B. C. D.
3.若实数 满足 ，则
A.有最小值 ，无最大值B.有最小值 ，无最大值
C.有最大值 ，无最小值D.有最大值 ，无最小值
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
5.已知 是定义在 上的函数，则“ ”是
“ 是奇函数”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
12.已知 展开式中第三项的二项式系数是 ，则 ▲，展开式中最大的系数是▲.
13.已知函数 的最小正周期是 ，则 ▲，单调递增区间是▲.
14.已知直线 被圆 所截得的弦长为4，且与圆心为 的圆 相切，则 ▲；圆 的半径长是▲.
15.已知三棱柱 的所有棱长均为 ，侧棱 底面 ，
若 分别是线段 ， 的中点，则异面直线 与 所成角
当 时，由 ，得 ，∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∵ ，
∴若 ，则在区间 上存在 ，当 时， ，当 时， ，当 时，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，此时函数 有且只有一个零点．-------------------------------------9分
（Ⅱ）求 的取值范围.
19.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，侧面 底面 ， ， 分别为 ， 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.（本小题满分15分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， .
（Ⅰ）求 ， 的值，并写出数列 的通项公式；
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.
参考公式：
若事件 互斥，则柱体的体积公式
若事件 相互独立，则其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
若事件 在一次试验中发生的概率是 ，则 次
独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
（2）由（1）得，
当 时， ,-------------------------9分
将上式对 从1到 求和，得 ，-------------12分
注意到： --------------------14分
将上式对 从1到 求和，
得 --------------15分
所以 .
经验证，当 时，上式也成立.
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证：当 时， .
解（1）当 时， ，即
， ， ，解得 ，------------------------------------4分
由 ，可得
即
，
又
是首项为 ，公差为 的等差数列，
.----------------------------------------------------------7分
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6. ， 是空间两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
7.已知函数 的图象如图所示，则 的图象可能是
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的直线 与双曲线 在第一象限的交点为 ，若原点到直线 的距离为 ， ，则双曲线 的离心率为
因为 在椭圆 上，所以 ，所以 ---------------------4分
所以 ；------------------------------------------------------------6分
（2）设 ， ，
，
因为 是 的中点，所以 ，且 ，
所以 ，--------（1）且 -------（2）----------------------------------------------8分
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高其中 表示球的半径
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知 ，若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则
由（1）（2）（3）解得 ，
由（4）得 ，即 ，所以 或 .----------------------------------15分
22.已知函数 ， （ ）．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）设 ，若当 时， 有三个不同的零点，求 的最小值；
（Ⅲ）当 时， 恒成立，求 的取值范围．
解：（1）∵ ，由 得， --------------------2分
因为 是锐角三角形，所以 ，--------------------------12分
，所以 ---------------13分
所以 ----------------------------------------------14分
19．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，侧面 底面 ， ， 分别为 ， 的中点．
21.已知椭圆 ，抛物线 的焦点是 ，点 在 的准线上.
（Ⅰ）当 在椭圆 上时，求 的值；
（Ⅱ）如图，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，与抛物线 交于 两点，且
是 的中点，过点 的直线 交抛物线 于 两点.若 ，求 的斜率 的
取值范围.
解：（1）由已知 ， ；------------------------------------------------2分
由 消去 得 ，
则 ，------（3）且 ，------------------10分
由 消去 得 ，
所以 ，----------------------------------------------------------------------------12分