2017年4月湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷高三数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}2{<∈=x R x P ，}31{≤≤-∈=x R x Q 则=Q P ( )A ．[-1，2） B.（-2,2） C ．（-2，3] D ． [-1,3]2. 已知复数)2(i i z -=，其中i 是虚数单位，则z 的模=z ( )A ．3B ．5C ．3D ． 53. 已知平面α与两条不重合的直线a ，b ，则“α⊥a ，且α⊥b ”是“b a //”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧≤-+≥-,02,0y x y x 则x y -2的最大值是( )A ．-2B ．-1 C.1 D. 25. 二项式7)2(+x 的展开式中含5x 项的系数是( )A ．21B ．35 C.84 D ．2806. 下列命题正确的是( )A ．若b a b a 3ln ln -=-，则0<<b aB ．若b a b a 3ln ln -=-，则b a <<0C. 若a b b a -=-3ln ln ，则0>>b a D ．若a b b a -=-3ln ln ，则b a >>07. 已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*∈N a ），现从中随机取出一球，再换回一个不 同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）， 记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3=ξE ，则=ξD ( )A ．21B ．1 C. 23 D ． 2 8. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，若方程x x f f =))((有且仅有一个实数根，则)(x f 的解析式可能是( )A ．12)(-=x x fB ．x e x f =)( C. 1)(2++=x x x fD ．x x f sin )(=9. 已知O 是ABC ∆的外心，︒=∠45C ，则OB n OA m OC +=),(R n m ∈，则n m +的取值范围是( )A ．]2,2[-B ．)1,2[- C. )1,2[-- D ．]2,1(10. 已知矩形ABCD ，AB AD 2=，沿直线BD 将ABD ∆折成BD A '∆，使点A '在平面BCD 上的射影在BCD ∆内（不含边界）．设二面角C BD A --'的大小为θ，直线D A '，C A '与平面BCD 所成的角分别为α，β，则（ )A ．βθα<<B ．αθβ<< C. θαβ<< D ．θβα<<第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分36分，将答案填在答题纸上）11. 双曲线1322=-y x 的焦距是 ，离心率是 ． 12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若7=a ，3=c ，︒=30A ，则=b ，ABC ∆的面积=S ．13. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 3cm ，表面积是 2cm ．14.已知圆C ：2)()(22=-+-b y a x ，圆心C 在曲线])2,1[(1∈=x xy 上.则=ab ，直线l ：02=+y x 被圆C 所截得的长度的取值范围是 ．15. 6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是 （用数字作答）．16. 已知等差数列}{n a ，等比数列}{n b 的公比为),(*∈N q n q ，设}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若n q n S T =+12，则=n a ．17. 已知函数c bx ax x f ++=2)(),,(R c b a ∈，若存在实数]2,1[∈a ，对任意]2,1[∈x ，都有1)(≤x f ，则c b 57+的最大值是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 函数)sin(2)(ϕω+=x x f )20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示, M 为最高点,该图象与y 轴交于点)2,0(F ,与x 轴交于点B ,C , 且MBC ∆的面积为π．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)若552)4(=-παf ,求α2cos 的值. 19. 如图，在三棱柱中DEF ABC -，点P ，G 分别是AD ,EF 的中点，已知⊥AD 平面ABC ，3==EF AD ，2==DF DE ．（Ⅰ）求证：⊥AD 平面BCEF ；（Ⅱ）求PE 与平面BCEF 所成角的正弦值．20. 设函数b ax e x f x +-=)(),(R b a ∈．（Ⅰ）若1==b a ，求)(x f 在区间[-1,2]上的取值范围；（Ⅱ）若对任意R x ∈，0)(≥x f 恒成立，记b a b a M -=),(，求),(b a M 的最大值．21. 已知点)21,(t P 在椭圆C ：1222=+y x 内，过P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，O 为坐标原点．（Ⅰ）是否存在实数t ，使直线l 和直线OP 的倾斜角互补？若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；（Ⅱ）求OAB ∆面积S 的最大值．22. 数列}{n a 中，211=a ，1221+-=+n n n n a a a a )(*∈N n （Ⅰ）求证：n n a a <+1；（Ⅱ）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：1<n S ．2017 年4 月湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测高三数学试卷参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABACC 6-10:CBDBD二、填空题11.4，2 12.1或2，433=S 或233=S ； 13.3，511+ ； 14.1，]5102,552[ ； 15.32； 16. 12-=n a n ； 17.-6 三、解答题18.解:( Ⅰ)因为π==⨯⨯=∆BC BC S ABC 221, 所以周期ωππ22==T ，1=ω， 由2sin 2)0(==ϕf ,得22sin =ϕ, 因为20πϕ<<,所以4πϕ=, 所以)4sin(2)(π+=x x f ；(Ⅱ)由552sin 2)4(==-απαf ,得45sin =α, 所以53sin 212cos 2=-=αα. 19. 解：（Ⅰ）证明：因为⊥AD 平面ABC ，所以DG AD ⊥,所以DG BF ⊥,因为DF DE =，G 是EF 的中点，所以DG EF ⊥,又F EF BF = ，所以⊥DG 平面BCEF ；（Ⅱ）取BC 的中点H ，连HG ，取HG 的中点O ,连接OP ,OE , 因为DG PO //，所以⊥PO 平面BCEF ，所以OEP ∠是PE 与平面BCEF 所成的角， 由已知得，25=PE ，27=OP ， 所以57sin ==∠PE OP OEP ．- 20. 解：（Ⅰ）当1==b a 时，1)(+-=x e x f x ，1)(-='x e x f ，01)(=-='x e x f 的根是0=x ，且当0>x 时，0)(>'x f ，当0<x 时，0)(<'x f ，所以)(x f 在（0,2）上单调递增，在（-1,0）上单调递减．所以2)0()(min ==f x f ，),1(max{)(max -=f x f 1)}2(2-=e f ，所以)(x f 在区间[-1,2]上的取值范围是]1,2[2-e ．（Ⅱ）0)(≥x f 恒成立，即b ax e x -≥恒成立，易知0≥a ， 若0=a ，则0≤-b ，即0≤-b a ，若0>a ，由b ax e x -≥恒成立，即ax e b x +-≥恒成立，即a ax e b a x +-≥-恒成立，令a ax e x g x +-=)(，则a e x g x -=')(，当a x ln =时，0)(='x g ， 当a x ln >时，0)(>'x g ，当a x ln <时，0)(>'x g ，所以)(x g 在)ln ,(a -∞上单调递减，在),(ln +∞a 上单调递增．所以a a a a g x g ln 2)(ln )(min -==，从而，a a a b a ln 2-≤-，令a a a a h ln 2)(-=，因为，a a a a a a h ln 11ln 2)ln 2()(-=--='-='，所以，e 是)(a h 的极大值，所以e e h a h =≤)()(，故b a -的最大值是e ．21. 解：（Ⅰ）存在.由题意直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程 是)(21t x k y -=- 代入2222=+y x 得：++22)21(x k ++-x kt k )21(402)21(22=-+-kt .（1） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则t x x 221=+，即t kkt k 221)21(42=+-， 解得：t k -=，此时方程（1）即++22)21(x t ++x t k )21(4202)21(222=-+t 由068822>++-=∆t t 解得，2302<<t ， （或由14122<+t 解得，2302<<t ） 当0=t 时，显然不符合题意；当0≠t 时，设直线OP 的斜率为1k ，只需021=+k k ， 即0)(21=-+t t ，解得22±=t ，均符合题意.（Ⅱ）由（1）知l 的方程是212++-=t tx y ， 所以212)21(21x x t S -+=， )21(212+=t 22421688t t t +++- 6884124++-=t t ， 因为2302<<t ，所以当212=t 时，22max =S . 22.证：（1）因为12+-n n a a 043)21(2>+-n a ，且0211>=a ，所以0>n a ， 所以=-+n n a a 1n n n na a a a -+-12201)1(22<+---=n n n n a a a a所以，n n a a <+1，+∈N n .（2）=n a 112121+----n n n a a a 2111111--+-=n n a a 211111--+-<n n a a)11(1111-=--n n a a 1111111----=n n a a 2221111----+-+=n n n a a a21----=n n a a 233111--+-+n n a a 21-...---==n n a a 111...11-+--a a21-1---=n n a a 1...a --，所以1<n S .（Ⅱ）证法2：=+1-1n a =+-122n n n a a a 1-12+-n n n a a a ， =+1-11n a nn n a a a -112+-n n a a --11=. 1-1111+--=n n n a a a ， n a a a +++...211-112+-=n a ， 0>n a ，所以n n a a a S +++=...211-1121<-=+n a .。