2 EIl 5 m l / 60
2
120 EI ml4
2
10.95 EI 2 m l
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
q Y ( x) x(l 3 2lx2 x 3 ) 24EI
l 2 5 qY ( x ) dx q l 120EI 0 2 l 2 q 2 31 9 m Y ( x ) dx 0 m 24 EI 630 l
h0
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所
附加的约束， Ritz 提出了改进方法： 1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
5
1 , 2 n 都满足前述两个条件。 a2 2 an n Y ( x) a1 1
（a1、a2、·········、an是待定常数）
§10-6 近似法求自振频率 1、能量法求第一频率——Rayleigh法
变能U 之和应等于常数。
※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有
1
根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T 和应
最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大）， 速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：
替，即
1 l U 0 q( x)Y ( x)dx 2
2
l 0 m[Y ( x)]
l 0 q( x)Y ( x)dx 2
dx miYi2
例12 试求等截面简支梁的第一频率。
3
1）假设位移形状函数为抛物线
EI
m
x
y
Y ( x) x(l x)
满足边界条件且与第 一振型相近
l
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频
率计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an 的可能组合，确实获得了最小的ω2值。 所选的a1，a2，…，an使 ω2 获得最小值的条件是
2 0, (i 1,2, , n) ai
这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式 等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往 越准。
例：用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。 解：悬臂梁的位移边界条件为：
7
I
设：Y a11 a2 2 a1 x 2 a2 x3
3）假设
2
Y ( x) asin
EIa
4 2 2
x
l
9.87 EI 2 m l
第一振型的精确解。
精 EI [ Y ( x )] dx 9 . 8696 EI 2 0 确 l2 2 解 l m[Y ( m x)] dx

2l 2
3
ma l

4 EI
似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算
高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形
形式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作 为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代
Umax=Tmax
※求Umax ，Tmax
ω
位移幅值
设： y( x, t ) Y ( x) sin(t ) l l l l 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 m ( x )v cos ( t ) m ( x ) Y ( x ) dx Tmax mdx ( x) Y ( x)dx EI [ Y ( x )] dx ※求频率 2 02 0 2 20 l0 2 l EI [ Y ( x )] dx 1 0 l 2 22 2 U max 1 l EI[ Y ( x )] dx 2 l y m2 [Y ( x )] 2 dx2 l 1 2 2 [Y dx miY dx sin ( 0x)] ( m U 0EI t ( ) EI[ Y x)] dx i
ml
4
l
2
0
例 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
4
h0 x 解： 截面惯性矩： I 1 12 l h0 x m 单位长度的质量： l
3
x l
满足边界条件：Y (l ) 0,Y (l ) 0
x 2 设位移形状函数： Y ( x) a(1 ) l
2 5 Eh 1.581 h0 2 0 , 4 2 l l2
E

1.534h0 与精确解 l2
E
l 2 EI [ Y ( x )] dx 2 0 l 2 m [ Y ( x )] dx 0

相比误差为3%
Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线 代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种 约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于 对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。
只取第一项 代入：
l
x
l
2 1 x 2 1
0
jdx, kij EIi
[ k ] [ m] 0
2
mij m i j dx
如梁上还有集中质量mi，
. v y Y ( x) cos(t )
20

x 2
2
0

Yi为集中质量mi处的位移幅值。
0
※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
2
1、必须满足运动边界条件：
（铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0） 尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振 型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近