R2 Mm r r Mm 解： Ek = A = ∫ − G ∆ r ⋅ dr = ∫ (−G )dr R1 R1 r3 r2 R1 − R 2 = GMm R1 R 2 Mm Mm 或： ∆Ek = − ∆E P = −[(−G ) − (−G )] R2 R1 R1 − R 2 = GMm R1 R 2 R2
mg L 1 ∴ A = ∆E p = = mgL 4 8 32
法2：设链条悬在桌边的长度为y，移动dy，有： 设链条悬在桌边的长度为y 移动dy，
m dAG = gydy L 0 m 1 ∴ AG = ∫ dAG = ∫L gydy = − mgL 32 4 L 1 ∴ A外 = − AG = mgL 32
2
竖直悬挂的轻弹簧下端挂一质量为m的物体后弹簧伸 2. 竖直悬挂的轻弹簧下端挂一质量为 的物体后弹簧伸 且处于平衡。若以物体的平衡位置为坐标原点， 长y0且处于平衡。若以物体的平衡位置为坐标原点，相 应状态为弹性势能和重力势能的零点， 应状态为弹性势能和重力势能的零点，则物体在坐标为 y时系统弹性势能与重力势能之和是【 D 】 时系统弹性势能与重力势能之和是【 时系统弹性势能与重力势能之和是 2 mgy 0 mgy2 mgy0 mgy + mgy + mgy（C） （A） （B） （D） 2 2 2 y0 2y
0
3
质量为m的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时， 3. 质量为m的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时， 可认为该飞船只在地球的引力场中运动。 可认为该飞船只在地球的引力场中运动。已知地球质 量为M,万有引力恒量为G 则当它从距地球中心R M,万有引力恒量为 量为M,万有引力恒量为G，则当它从距地球中心R1处下 C 】 降到R 处时，飞船增加的动能应等于【 降到R2处时，飞船增加的动能应等于
2GMm 地面的引力势能为零， 地面的引力势能为零，则系统的引力势能为 − ；如 3R
取无穷远处的引力势能为零， 取无穷远处的引力势能为零，则系统的引力势能 GMm 为 。
3R
解: ∆Em = − A = −
∫
势能为 0的点
2GMm =− 3R
∆Em = − A = − ∫
R1
R Mm r r Mm − G 3 r ⋅ dr = ∫ (G 2 )dr 3R r r
r 2 r = ∫ 2 y dx + ∫ 3 xdy 0 0 3 2 2 2 3 = ∫ 2( x) dx + ∫ 3( y)dy 0 0 3 2
3 2
0
0
= 17
8
2.质量为m的物体放在光滑的水平面上，物体的两边 质量为m的物体放在光滑的水平面上， 分别与劲度系数k 的弹簧相连。 分别与劲度系数k1和k2的弹簧相连。若在右边弹簧的 末端施以拉力F, (1)该拉力 非常缓慢地拉过距离l， F,问 该拉力F 末端施以拉力F,问(1)该拉力F非常缓慢地拉过距离 ， 做功多少？（ ？（2 瞬间拉到l便停止不动,F ,F做的功又 F做功多少？（2）瞬间拉到l便停止不动,F做的功又 为多少？ 为多少？ 解：（1）拉力作功只增加二弹 簧的弹性势能。
R2
R1
GMm = 3R∞Fra bibliotekMm r r Mm − G 3 r ⋅ dr = ∫ (G 2 )dr 3R r r
5
2.一链条长度为L,质量为m , 链条的一端放在桌面上， .一链条长度为L,质量为m L,质量为 链条的一端放在桌面上， 并用手拉住，另一端有1/4悬在桌边， 1/4悬在桌边 并用手拉住，另一端有1/4悬在桌边，将链条全部拉 1 到桌面上要做功A= A=________________。 到桌面上要做功A=________________。 mgL 32 解法1 解法1：将链条全部拉到桌面上做功的效果 就是使悬在桌边链条的重力势能增加， 就是使悬在桌边链条的重力势能增加，
6
三、计算题 r r r 2 1.一质点在力 F = 2y i + 3x（SI）的作用下，从原点 . j ）的作用下，从原点0 出发，分别沿折线路径0ab和直线路径 运动到 点， 和直线路径0b运动到 出发，分别沿折线路径 和直线路径 运动到b点 如图所示。试分别求这两个过程中力所作的功。 如图所示。试分别求这两个过程中力所作的功。 0ab路径到 点分成0a 路径到b 解：（1）从0ab路径到b点分成0a ab两段 0a过程 两段。 过程： 及ab两段。0a过程：x方向受力为 ），位移不为零 位移不为零， 零（y＝0），位移不为零，y方向 受力不为零，但位移为零， 受力不为零，但位移为零，应该没 做功ab过程 过程： 变化， 做功ab过程：x＝3，y变化，但x方 向没有位移， 方向力不做功， 向没有位移，x方向力不做功，y方r r r r 向受力9N，应做功18J。 向受力9N，应做功18J。 A = Fdx + Fdy
1 2 A = k 2l 2
9
GMm （A ） （B ） R2
GMm 2 R2
R1 − R2 （C）GMm R R 1 2
R1 − R2 （D） GMm R 2 1
4
二、填空题 1.己知地球半径为 ，质量为 。现有一质量为 的物 .己知地球半径为R，质量为M。现有一质量为m的物 体处在离地面高度2R处 以地球和物体为系统， 体处在离地面高度 处，以地球和物体为系统，如取
∫
0a
∫
ab
= ∫ 2y
0
3
2
( y =0)
dx0 a + ∫ 3 x( x =3) dyab = 0 + ∫ 3 ⋅ 3dy = 18 0
2 0
2
7
（2）从0b路径到b点 0b路径到 路径到b
r r 3 r r r 2 r r r 2 2 A = ∫ Fdr = ∫ (2 y i + 3xj )dx + ∫ (2 y i + 3 xj )dy
06级大学物理规范作业上册 06级大学物理规范作业上册
总（03） 03） 功和能
1
r r r r r r r r 解：Q r = 5ti + 0.5t 2 j , ∴ v = 5i + tj , a = j r r r ∴ F = ma = 0.5 j r r r r r r r ∴ A = ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ v dt = ∫ 0.5 j ⋅ (5i + tj )dt
（2）瞬间拉动，劲度系数为k1的弹簧来不及形变，有：
k 2 ∆l2 = k1∆l1 k1l k 2l , , ∆l2 = ⇒ ∆l1 = k1 + k 2 k1 + k 2 ∆l1 + ∆l2 = l 1 1 k1k 2 2 2 ∴ A = k1∆l1 + k 2 ∆l2 = l2 2 2 2(k1 + k 2 )
= ∫ 0.5tdt = 3 J 2 r r r r r r 或 v2 = 5i + 2 j , v4 = 5i + 4 j 1 2 2 A = ∆Ek = m(v4 − v2 ) = 3 J 2
4
一、选择题 质量m＝0.5kg的质点 的质点， Oxy平面内运动 平面内运动， 1.质量 ＝0.5kg的质点，在Oxy平面内运动，其运动 (SI)， t=2s到t=4s这段时间 方程为x 5t， 方程为x＝5t，y =0.5t2(SI)，从t=2s到t=4s这段时间 外力对质点作的功为【 内，外力对质点作的功为【 B 】 （A）1.5J （B）3 J （C）4.5J （D）-1.5J ） ） ） ）
mg 解：由题意有 mg = ky0 , k = y0
0
以物体的平衡位置为坐标原点，相应状态为弹性势 能和重力势能的零点时，
mgy 2 1 2 + mgy E p弹 = ∫ − k ( y + y0 )dy = ky + ky0 y = y 2 y0 2 0 mgy 2 E p重 = ∫ mgdy = − mgy ∴ E p = E p弹 + E p重 = y 2 y0