1、设椭圆22:1221x y E a a +=-，其焦点在x 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)34p =，求椭圆的方程.2、设椭圆22:1(0)22xy E a b a b+=>>的离心率2e =，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =，,12F F 为两焦点，P 是E 上除长轴端点外的任一点，12F PF∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ，求m 的取值范围.3、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率12e =，,12F F 为两焦点，椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ，求三角形的面积?12SF AF =∆4、如图，设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，,M N 为长轴顶点，过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点，若2FA FB =，求?SFAM SFBN∆=∆5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，其离心率e =d = 求椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求11?AB CD+= 6、设椭圆22:13627x y E +=，左焦点为F ，在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、，使得21223313P FP P FP P FP π∠=∠=∠=，求：111?123FP FP FP++= 7、如图所示，椭圆()221:1169x y E ++=，过原点的两条直线交圆于ABCD ，AD 与CB 的延长线相交于M ，AC 与DB 的延长线相交于N ，求MN 所在的直线方程.8、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点，P 为AB 中点. ⑴若OP 的斜率为：12k =，求椭圆E 的方程； ⑵若直线:0m x y --=交E 于C D 、两点，AD 与BC 相交于Q ，求Q 点的坐标.9、设椭圆22:1168x y E +=的长轴端点为A B 、，与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点，PA QB 、的延长线相交于S 点，求S 点的轨迹.10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>，F 为P 的焦点，M 为P 上任一点，l 为过M 点的切线，求证：FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.11、已知抛物线P 的顶点为原点，其焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离为2d =，M 在l 上，过M 作抛物线P 的两条切线MA 、MB ，其中A 、B 为切点.⑴当M 的坐标为(4,2)时，求AB 的直线方程； ⑵当M 在l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值.12、过抛物线2:2(0)P x py p =>的焦点F 作斜率分别为12k k 、两条不同弦AB 和CD ，212k k +=，以AB 、CD 为直径的圆M 圆N (M 、N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l ，若圆心M 到l距离的最小值为5，求抛物线P 的方程. 13、已知动圆C 过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8，求动圆圆心C的轨迹方程.14、如图已知，在抛物线2:4P y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A . 过原点的圆C 其圆心在抛物线P 上，与抛物线的准线l 交于不同的两点M N 、，若2AF AM AN =⋅，求圆C 的半径.15、如图，抛物线2:41P x y =，抛物线2:2(0)2P x py p =->，点(,)00M x y 在抛物线2P 上，过M 作1P 的两条切线MA 和MB ，当120x =-时，切线MA 的斜率为12k =-.⑴求：AB 所在的直线方程；⑵当点M 在抛物线2P 上运动时，求AB 中点的轨迹方程.16、已知抛物线2:8P y x =，焦弦AB 被F 分为FA 、FB 两段，求：11?FA FB+= 17、如图，在正方形中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()10,0，点C 的坐标为()0,10，分别将线段OA 和AB 等分成十等分，分点分别记为,,,129A A A ⋅⋅⋅和,,,129B B B ⋅⋅⋅，连接OB i ，过A i 作轴的垂线与OB i 交于点()*,19P i N i i ∈≤≤.（1）求：点P i 的轨迹方程； （2）求：过点P i 的切线方程。

18、已知，双曲线22:145x y H -=，过右焦点F 的直线交H 于A B 、两点，以AB 为ABM直径的圆C 与H 的准线还有另外两个交点M N 、，与原点O 构成的三角形，求：MON S ∆的最小值.1、设椭圆22:1221x y E a a +=-，其焦点在x 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)34p =，求椭圆的方程. 解：⑴先求2a 的范围：由焦点在x 轴上，则：221a a >-，即：122a >； 另外，2210b a =->，所以21a <；所以12(,1)2a ∈.⑵求2a 的值：焦点坐标：222222(1)21c a b a a a =-=--=-；椭圆的准线：2a x c=；准焦距：2222234a a cb pc c c c -=-====则：22216(1)9(21)a a -=-，即：421650250a a -+= 方程有两个解：5030521322a +==>（舍），和5030512(,1)3282a -==∈，故528a =. ⑶确定椭圆方程：将528a =，3218a -=代入方程得：2288153x y += 2、设椭圆22:1(0)22x y Ea b a b+=>>的离心率e =(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =，,12F F 为两焦点，P 是E 上除长轴端点外的任一点，12F PF ∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ，求m 的取值范围. 解：⑴通径，即x c =时的y c ∆.当x c =时代入方程得：2222212222y c a c b c b a a a-=-==， 即：422b yc a =，故通径：221bd y c a =∆==，即：22a b = ①⑵由离心率2c e a ===，即：22324a b a -=，即：2124b a = 则：2a b = ②联立①②解得：2a =，1b =，则c =⑶写出椭圆E 的方程：2214x y += ③⑷求12F PF ∠的角平分线PM 的直线方程：由③得过(,)00P x y 点的切线方程为：0104x xy y +=即：1100(1)44000x x x x y y y y =-=-，其斜率为：040x k y =-根据椭圆的切线定理，PM 是过(,)00P x y 点的法线，其斜率为：410'y k k x=-=则PM 的直线方程为：40()000yy y x x x-=-将(,0)M m 代入上式得：400()000yy m x x-=-即：004x m x -=-，故：304x m = ④ ⑸求出m 的范围因为(,)00P x y 点是E 上除长轴端点外的任一点，故：(,)0x a a ∈-，即：(2,2)0x ∈-. 代入④式得：33(,)22m ∈-.3、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率12e =，,12F F 为两焦点，椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ，求三角形的面积?12S F AF =∆解：⑴先求E 的方程：将(0,3)A 代入E 的方程得：2203122a b +=，故：3b = 再由12c e a ==，即：2221224c a b a a -==，422123a b ==，则：a =2a c ===E 的方程为：221129x y += ①⑵求三角形12F AF ∆的面积12S F AF ∆： 12F AF ∆的高，即3OA b ==； 12F AF ∆的底，即焦距212FF c ==故：113122212S F F OA F AF ==⋅=∆ ⑶另外，12F AF ∆是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之.22tan 212cS b b bc F AF b θ==⋅==∆4、如图，设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，,M N 为长轴顶点，过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点，若2FA FB =，求?S FAM S FBN∆=∆解：本题由于直线l 过左焦点F ，所以采用以左焦点为原点的极坐标，可使问题大大简化. 椭圆的极坐标方程为：1cos epe ρθ=- ①直线l 的方程为：3πθ=②那么：221cos 1332ep ep ep FA e ee πρθπ=====---； 221cos()1332ep ep epFB e ee πρθπππ=====++-++ 代入2FA FB =得：1222e e =-+，即：22(2)42e e e +=-=-，故：23e = 于是：01cos01ep ep FM e e ρθ====--；1cos 1ep epFN e eρθππ====-+ 故：2FA FB =，21153521113FM e FN e ++====-- 所以：1sin 225101sin 2FA FM SFA FM FAM S FB FN FB FN FBNαα∆===⨯=∆5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，其离心率e =d = 求椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求11?AB CD+= 解：⑴先求椭圆E 的方程：由离心率c e a ==2221223c a b a a -==，则：2223b a= ①由通径223b d a ==得：23b a =②联立①②得：a =b =E 的方程为：22132x y +=⑵两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为：1cos epe ρθ=- ③那么，设：(,)1A ρθ，则：(,)2B ρθπ+，(,)32C πρθ+，3(,)42D πρθ+代入方程③式得：212221cos 1cos()1cos 1cos 1cos ep ep ep ep epAB e e e e e ρρθθπθθθ=+=+=+=--+-+-于是，2211cos 2e AB epθ-= ④ 2343221sin 1sin 1sin 1cos()1cos()22epepep ep epCD e e e e e ρρππθθθθθ=+=+=+=+---+-+于是，2211sin 2e CD epθ-= ⑤ 由④式⑤式得：22222111cos 1sin 2222e e e AB CD ep ep ep θθ---+=+= ⑥将e =2221b pc ===代入⑥式得：11AB CD +=6、设椭圆22:13627x y E +=，左焦点为F ，在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、，使得21223313P FP P FP P FP π∠=∠=∠=，求：111?123FP FP FP ++= 解：椭圆E 的参数：6a =，b =3c =，故离心率12c e a ==，准焦距222793a b p c c c =-===.采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为：1cos epe ρθ=- ，即：11cos e ep θρ-= ①设(,)11FP ρα=，则2(,)223FP πρα=+，2(,)333FP πρα=-分别代入①式得：11cos 1e ep αρ-=，21cos()132e epπαρ-+=，21cos()133e ep παρ--=由于：22cos cos()cos()033ππααα+++-= 所以上三式相加得：1113321391232ep ρρρ++===⨯故：11111123123123FP FP FP ρρρ++=++= 7、如图所示，椭圆()221:1169x y E ++=，过原点的两条直线交圆于ABCD ，AD 与CB 的延长线相交于M ，AC 与DB 的延长线相交于N ，求MN 所在的直线方程. 解：⑴首先看一下原点(0,0)O 和椭圆的位置关系将原点坐标代入()2211169x y ++-得：()22010111016916++-=-< 小于0表明原点在椭圆内部.⑵本题中，原点O 和直线MN 是椭圆E 的一对极点和极线. 这里先简单介绍一下极点和极线：过椭圆外一点P 向椭圆E 作的所有割线点的连线，相交于两点A 和B ， 一个点在椭圆内(假设A )，一个点在椭圆外(假设B ). 这3个点P 、A 和B 构成特殊的三角形，称为自极三点形. 其中，点P 和直线AB 是一对极点和极线；点A 和直线PB 是一对极点和极线；点B 和直线PA是一对极点和极线.如果将极点的坐标，做等效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到MN 所在的直线方程. 将极点坐标(,)00x y 做等效代入椭圆方程得到极线方程：()()11001169x x y y +++=故：代入00x =，00y =后得到：()()01101169x y ++⋅+=即：116x +=，即：15x = 所以MN 所在的直线方程是：15x =8、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点，P 为AB 中点. ⑴若OP 的斜率为：12k =，求椭圆E 的方程；⑵若直线:0m x y --=交E 于C D 、两点，AD 与BC 相交于Q ，求Q 点的坐标.解：⑴由于右焦点在直线l 上，将右焦点(,0)F c的坐标代入:0l x y +=，得：00c +-=，故：c =23c =联立椭圆E 和直线l 得到交点A B 、的坐标：221220x y a b x y ⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩消元法消去y得：212x a a c+=-即：222222(3))(3)0a x a x a a -+--=整理得：22222(23)(6)0a x x a a --+-= ①由于P 为AB 中点，所以1()2x x x P A B =+，y x P P =代进①式由韦达定理得：2211()22222323x x x P A B a a =+=⋅=-- ②2323y x P P a a ===-- ③ 由此得到OP的斜率为：232ya P k x a P-===已知12k =，故：26a =，于是 2233b a =-=所以椭圆E 的方程为：22163x y +=⑵直线:0m x y -=经过F 点，直线l也经过F 点， 故Q 点必在关于椭圆E 以F 为极点的极线上.013y ⋅+=；即：x Q ==由于AD 与BC 关于x 轴对称，根据对称性，0y Q =所以Q点的坐标为：Q9、设椭圆22:1168x y E +=的长轴端点为A B 、，与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点，PA QB 、的延长线相交于S 点，求S 点的轨迹. 解：设(,)00S x y ，(,)P m n ，(,)Q m n -由//PA AS 得：k k PA AS =0()n nk PAm a m a-==--+000()00y yk AS a x x a-==--+故：00y n m a x a=++ ① 由//BQ QS 得：kk BQQS= 0n n k BQ m a a m--==--，00000y y k QS x a x a -==-- 故：00y n a m x a=-- ② 由①⨯②式得：2202222y n a m x a =-- ③ 又，P Q 、两点在椭圆E 上，满足：22122m n a b+= 即：22221222n m a m b a a -=-=，即：2222222222b a a n n a m n a m==⋅-- 代入③式得：2222202222222y b a n a n n a m n x a =⋅=⋅-- 即：22220001222y x a x b a a -==-，故：2200122x y a b -=即：22001168x y -=，这就是S 点的轨迹方程.10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>，F 为P 的焦点，M 为P 上任一点，l 为过M 点的切线，求证：FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.证明：FM 为抛物线的焦半径，设其倾角为α，(,)M x y M M ，(,0)2pF抛物线22y px =两边对x 求导：2'2yy p =，即'p y y=故M 点的切线为：tan 'py x x y M Mθ===222tan tan(2)22221tan 12p ypyM M p y p M y M θθθ⋅===--- 22tan 22222pypy yM M M p y p px p x M M M α===--- 即：2αθ=，FM 与l 的夹角为2αθθθθ-=-=，而θ就是l 与x 轴的夹角. 11、已知抛物线P 的顶点为原点，其焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离为2d =，M 在l 上，过M 作抛物线P 的两条切线MA 、MB ，其中A 、B 为切点.⑴当M 的坐标为(4,2)时，求AB 的直线方程； ⑵当M 在l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值. 解：⑴先求抛物线P 的方程由焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离为2d =得：d ===1c = 抛物线P 的方程为：244x cy y == ① 下面求AB 的直线方程：AB 的直线方程与M 点是抛物线P 的一对极线和极点，故用极线方程秒之. AB 的直线方程：2()x x y y M M=+将(4,2)M 的坐标值代入得：42(2)42x y y =+=+，即：220x y --= ⑵ AF =A 点到准线的距离，BF =B 点到准线的距离.()()(1)(1)AF BF y c y c y y A B A B⋅=++=++即：(1)(1)()1AF BF y y y y y y A B A B A B ⋅=++=+++ ②由于M l ∈，可将:20l x y --=作为极线，来求其极点N . 极点(,)N x y N N关于抛物线P 的极线为：2()x x y y N N =+，即：220x x y y N N --= 与:20l x y --=对比得：2xN=，2yN=当M 在l 上移动时，其极线AB 必过N 点.设AB 的直线的斜率为k ，则AB 的直线方程为：()y k x x y N N =-+即：22y kx k =-+ ③AB 点为①与③的交点.将③代入①式得：()212241y x y k k k ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦即：22244(1)4(1)k y y k y k =+-+- 即：2224(1)4(1)0y k k y k --++-= ④ 方程④的两个根就是y A 和y B.由韦达定理得：24(1)y y k A B =-，24(1)y y k k A B +=-+ 代入②式得：224(1)4(1)12224(211)14(23)9AF BF k k k k k k k k k ⋅=-+-++=-++-++=-+33322224(23)98[2()]8()9444223939989842422k k k k k k -+=-⋅⋅+-⋅+⎛⎫⎛⎫=-+-=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故AF BF ⋅的最小值是92. 12、过抛物线2:2(0)P x py p =>的焦点F 作斜率分别为12k k 、两条不同弦AB 和CD ，212k k +=，以AB 、CD 为直径的圆M 圆N (M 、N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l ，若圆心M 到l距离的最小值为5，求抛物线P 的方程. 解：抛物线22x py =的焦点(0,)2pF .设AB 直线的方程为：12p y k x =+，CD 直线的方程为：22py k x =+则：AB 点的坐标满足抛物线方程和AB 直线的方程即：2212x pyp y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩于是：2222()2112px py p k x pk x p ==+=+故：22201x pk x p --= ①AB 是圆M 的直径，圆心是(,)M x y M M ，则由韦达定理得：1()12x x x pk M A B =+=，2x x p A B ⋅=- ②()()()11122p py y k x k x k x x A B A B A B -=+-+=- 圆M 的直径平方为：()2222222()()(1)()(1)411AB x x y y k x x k x x x x A B A B A B A B A B ⎡⎤=-+-=+-=++-⋅⎢⎥⎣⎦将②式代入上式得:22222222(1)(44)4(1)111AB k p k p p k =++=+故圆M 的直径为：22(1)1AB p k =+圆M 的半径为：2(1)1r p k M =+圆M 的方程为：222222()()(1)1x x y y r p k M M M -+-==+ ③同理，圆N 的方程为：22222()()(1)2x x y y p k N N -+-=+ ④由③-④得：22222()[2()]()[2()]()(2)1212xx x x x y y y y y p k k k k N M N M N M N M --++--+=-++将()21xx p k k NM -=-，()221x x p k k p N M +=+=22()21y yp k k NM -=-，22(1)21y y p k k N M +=++ 代入上式化简得：20x y += ⑤ 这就是两圆的公共弦l 的直线方程.由圆心M 到l=将1x pk M =，21122p py k x pk M M =+=+，代入上式，并由圆心M 到l得：11112222)(21)211111122424421714165pk pk p p k k k k k ⎛⎫++=++=+⋅⋅+-+⎪⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=++≥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故：8p =，则抛物线方程为：216x y =.13、已知动圆C 过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8，求动圆圆心C的轨迹方程.解：解题思路：弦MN 和AM 的垂直平分线相交于圆心.设：(0,)0M y ，则：(0,8)0N y +，MN 的垂直平分线方程为：1()402y y y y M N =+=+ ①AM 的斜率为：000044y y y yM A kAM x x M A --===--- 则AM 的垂直平分线的斜率为：14k k y AM=-=AM 的中点K 为：04222xxM A xK++===，000222y y y yM A y K ++===则AM 的垂直平分线方程为：440()(2)200y y x x y x K K y y =-+=-+ ②联立①②，消去0y 得：44(2)(4)2y y x y -=-+-即：44(2)2(4)y x y +=--，即：2248(2)816y x x -=-=-，即：28y x = 这就是求动圆圆心C 的轨迹方程，是条抛物线.14、如图已知，在抛物线2:4P y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A . 过原点的圆C 其圆心在抛物线P 上，与抛物线的准线l 交于不同的两点M N 、，若2AF AM AN =⋅，求圆C 的半径.解：抛物线的准线方程：12px =-=- 设圆C 其圆心坐标为：(,)00x y ，因圆心在抛物线P 上，则：2004y x =又圆C 过原点，则：42222000016y r x y y C =+=+ ①故圆C 得方程为：()224220000416y y x y y y ⎛⎫ ⎪-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭即：2442222000200021616y y y x x y y y y y -++-+=+即：22202002y x x y y y -+-=对于在准线l 上的M N 、两点，其12px =-=-， 代入上式得：22012002y y y y ++-=即：22021002y y y y -++=方程的两个解就是M N 、的纵坐标.由韦达定理得：20y y y M N +=，2012y y y M N ⋅=+ ②22221422p AF c ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；AM y M=，AN y N =；代入2AF AM AN =⋅得：4y y M N⋅=将结果代入②式得：20142y +=，即：260y =.将结果代入①式得：436933220660161644y r y C =+=+=+= 故：圆C 的半径为：r =点(,)00M x y 在抛物线2P 上，过M 作1P 的两条切线MA 和MB，当10x =时，切线MA 的斜率为12k =-.⑴求：AB 所在的直线方程；⑵当点M 在抛物线2P 上运动时，求AB 中点的轨迹方程.抛物线2:41P x y =的导函数为：4'2y x =，即：'2xy =抛物线在A 点的斜率'2xA y A =就是切线MA 的斜率为12k =-，故：1x A =-，2144x A y A ==，即：1(1,)4A -(,)00M x y 点与AB 所在的直线是关于1P 的一对极点和极线，故：AB 所在的直线方程为：2()00x x y y =+即：002xy x y =- ①因为方程①过A 点，故：10042x y =--；当10x =时，10024x y=--==将(,)00M x y代入①式得：1313(2424y x x --=--=+ 这就是AB 所在的直线方程. ⑵设AB 的中点为(,)N x y N N ，则：1()2x x x N A B =+，20000224x x x y x y x N NN =-=+将①代入抛物线1P 方程得： 2044()240002xx y x y x x y==-=-，即：224000x x x y -+=由韦达定理得：11()20022xx x x x N A B =+=⋅= 2233220000022444x x x y x y x x N N N=-=+== 或者：423x y N N =. 这就是AB 中点的轨迹方程.16、已知抛物线2:8P y x =，焦弦AB 被F 分为FA 、FB 两段，求：11?FA FB+= 解：抛物线的焦点(,0)2pF ，即：(2,0)F ，4p =，1e =以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为：41cos 1cos ep e ρθθ==-- 设：(,)1A ρα，则：(,)2B ραπ+于是：111cos 41FA αρ-==111cos()1cos 442FB απαρ-++=== 故：111cos 1cos 1442FA FB αα-++=+= 17、如图，在正方形中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()10,0，点C 的坐标为()0,10，分别将线段OA 和AB 等分成十等分，分点分别记为,,,129A A A ⋅⋅⋅和,,,129B B B ⋅⋅⋅，连接OB i ，过A i作轴的垂线与OB i 交于点()*,19P i N i i ∈≤≤.⑴求：点P i 的轨迹方程；⑵求：过点P i的切线方程。