圆锥曲线中弦长问题的解决策略
张秀梅 张建强
弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式
a k x x k AB /1||1||2212∆+=-+=就能解决问题。
但实际中，除个别简单题（本文从略）
外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。
本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。
一、两线段相等
类型I 有相同端点的不共线线段 例1、（2204，北京西城区二模）
已知定点)4,2(--A ，过点A 做倾斜角为︒
45的直线L ，交抛物线)0(22>=p px y 于A 、
B 两点，且||||||
AC BC AB 、、成等比数列
（1）求抛物线方程；
（2）问（1）中抛物线上是否存在D ，使得||||
DC DB =成立？若存在，求出D 的坐标。
策略分析：由于D 、B 、C 三点不共线，要使得||||
DC DB =成立，只需取BC 中点P ，满足BC DP ⊥。
由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习： 例2、（2005，孝感二模）
已知)2()2(),,1(),0,(b a b a y b x a
-⊥+==
（1）求点P(x,y)的轨迹方程C ； （2）若直线L ：b kx y +=（0≠k ）与曲线C 交与AB 两点，D(0,－1)，且有||||BD AD =，试求b
的取值范围。
类型II 共线线段
例3、直线L 与x 轴不垂直，与抛物线22+=x y 交于AB 两点，与椭圆2222=+y x 交于CD 两点，
与x 轴交于点M )0,(0x ，且||||
BD AC =，求0x 的取值范围。
策略分析：不妨设A ),(11y x 在B ),(22y x 下方，C ),(33y x 在D ),(44y x 下方，由于ABCD 共线，要使
||||BD AC =,只需4213x x x x -=-，即4321x x x x ==+，结合韦达定理可得结果。
二、三线段相等 类型I 正三角形
例 4、（2003，北京春招）
已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L ：x=－1相切，点C 在L 上 （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；
（2）设过点P 且斜率为3-的直线与曲线M 相交于AB 两点
①问三角形ABC 能否为正三角形？若能，求点C 坐标；若不能，说明理由；
②问三角形ABC 能否为钝角三角形？若能，求点C 纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。
策略分析：对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。
所以，只需设C （－1，y ），根据||||
AB BC =和||||AB AC =分别列方程求y 值，判断两个y 值是否相等。
例5、（2005，学海大联考六）
如图，在直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y))0(≠y ，设,,，与x 轴正方向
的夹角分别为αβγ，且πγβα
=++
(1)求点P 的轨迹G 的方程；
(2)设过点C )1,0(-的直线L 与轨迹G 交于 不同的两点MN ，问在x 轴上是否存在一点 E )0,(0x 使MNE ∆为正三角形？
策略分析：设直线L ：y=kx-1，由韦达定理求出MN 中点F 的坐标，再根据1-=∙MN EF
k k ，求出
)0,34(
2
k k E --；利用弦长公式求出｜MN ｜，再根据||||2
3
EF MN =解得3±=k 。
注意代入∆验证。
类型II 共线线段 例6、（2004，广东高考卷）
设直线λ与椭圆
116
252
2=+y x 相交于AB 两点，λ又与双曲线122=-y x 相交于CD 两点，CD 三等分线段AB ，求λ的方程。
策略分析：实质是||||||
DB CD AC ==。
当λ与x 轴垂直时，λ方程为241
25±
=x ；当λ与x 轴
不垂直时，先由||||DB AC =，利用例3的方法，求得0=k 或0=b ，然后分类讨论求出ABCD 的横
坐标，利用
3=，得出1316±
=b 和25
16±=k 。
三、线段成比例
类型I 两个已知点一个未知点 例7、（2005，黄冈调研）
已知椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b x a x ，双曲线122
22=-b
x a x 的两条渐近线为21,L L ，过
椭圆的右焦点F 做直线L ，使1L L
⊥，又L 与2L 交于点P 。
设L 与椭圆的两个交点由上到下依次为AB ，
（1）当21L L 与夹角为︒
60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程； （2）当λ=时，求λ的最大值。
策略分析：F 点和P 点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A 点坐标，代入椭圆方程即可。
类型II 一个已知点两个未知点 例8、(2004，全国卷)
设双曲线C ：12
22=-y a
x （a>0）与直线L ：1=+y x 相交于两个不同的点AB
（1）求双曲线的离心率e 的取值范围； （2）设直线L 与y 轴的交点为P ，且PB PA 12
5
=
，求a 值。
策略分析：设A ),(11y x 、B ),(22y x 、)1,0(P ，由12
5
=知21
12
5
x x =
，于是，2211217x x x =
+，2
22112
5x x x =，前式平方除以后式消掉2x ，结合韦达定理即可求出a 。
注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB ，且
PB PA λ=，其中，),(00y x P ，则
)()(0201x x x x -=-λ，可以算出)()(0201x x x x -+-和))((0201x x x x --，利用例
8思想
求
解
；
或
者
，
使
用
以
下
技
巧
2
210212
2102122101020201)()(22)(1
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++--+=--+--=+λλ，结合韦达定理。