排列组合问题之—加法原理和乘法原理
华图教育梁维维
加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本思想，绝大多数的排列组合问题都会应用到这两个原理，所以对加法、乘法原理广大考生要充分的了解和掌握。

1.加法原理
加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。

例如：从长春到济南有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有k1，k2，k3个班次，那么从武汉到上海共有N=k1+k2+k3种方式可以到达。

加法原理指的是如果一件事情是分类完成的，那么总的情况数等于每类情况数的总和，比如如下的题目：【例1】利用数字1，2，3，4，5共可组成
⑴多少个数字不重复的三位数？
⑵多少个数字不重复的三位偶数？
【解析】⑴百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数。

【解析】⑵先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数。

在公务员考试当中，排列组合也是考察比较多的一个问题，国考和联考当中也对加法原理做了考察。

例如如下的两道题：
【例2】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( )
A.7种
B.12种
C.15种
D.21种
【解析】不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式。

所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式。

对于加法原理大家要掌握的是分类思想，对于分类问题要掌握加法原理。

总的情况数等于每类的情况数加和。

下面我们继续了解排列组合问题的基本原理之乘法原理。

2.乘法原理
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n 步有mn 不同的方法。

那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。

下面我们以如下的考试真题来练习一下。

【例3】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。

现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法?( )
A.96
B.124
C.382
D.560
【解析】从四科教师中各选出1名教师去参加培训共分成四步，第一步选出一名语文老师有8种选择方法；第二步选出一名数学老师有7种选择方法；第三步选出一名英语老师有5种选择方法；第四步选出一名体育老师有2种选择方法；根据分步原理，所以一共有8×7×5×2=560种不同的选法。

【例 4】要求厨师从12种主料中挑选出2种，从13种配料中挑选出3种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴( )
A.130468
B.131204
C.132132
D.133456
【解析】厨师做出一道菜肴分成三步来完成，第一步从12种主料中选出两种主料有212C 种选择
方法；第二步从13种配料中挑选出3种有3
13C 种选择方法；第三步烹饪的方式共有7种；根据乘法原理该厨师最多可以做出1321327313212=⨯⨯C C 道不一样的菜肴。

以上是关于加法原理和乘法原理的内容介绍，在考试当中加法原理和乘法原理往往会结合在一起考察，并且考察的比较多，例如下面这道题。

【例5】甲、乙两人从5项健身项目中各选2项，则甲、乙所选的健身项目中至少有1项不相同的选法共有( )。

A.36种
B.81种
C.90种
D.100种 【解析】甲、乙所选的健身项目中至少有1项不相同的选法可分为两类，第一类两个人有一项不相同，那么首先可以从五个项目当中选出一项是两个人相同的，剩下四项当中选出两项分给两个
人，应用乘法原理，所以一共有602415=⨯A C 种，第二类两人的两个项目均不相同，第一步先选出
两个项目给甲，第二步从剩下的三个项目选出两个项目给乙，应用分步原理一共有302325=⨯C C 种，
根据加法原理，总共的种数有60+30=90种。

总之，加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本解题思想，需要大家重点掌握和学习。