基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
【例 1】
(1)下列说法正确的是
( B )
思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手，可以借助实例或几何模型理 A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多 解几何体的结构特征．
解析 (1)A 错，如图 1；
面体是棱柱
应有 OD＝2O′D′＝2×2 2＝4 2 cm， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2＝ 4 22＋22＝6 cm，
∴OA＝OC，
故四边形 OABC 是菱形．
答案 (1)C (2)C
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题型分类·深度剖析
题型三 空间几何体的表面积与体积
【例 3】
解析 由三视图知该几何体的直观图如图所示， 该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是 长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面， 上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为 42＋12 1 ＝ 17.所以S表＝42＋2×4＋2×(2＋4)×4×2＋4× 17×2＝48＋8 17. A．48 B．32＋8 17 C．48＋8 17 D．80
所在的直线
直角梯形中垂直于底边的腰
所在的直线
半圆直径
所在的直线
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思想方法
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要点梳理
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3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′ 轴、y′轴的夹角为 45°或135° ，z′轴与 x′轴和 y′ 轴所在平面 垂直 ． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 B 正确， 如图 2， 其中底面 ABCD 是矩形， 可证明∠PAB， ∠PCB
都是直角，这样四个侧面都是直角三角形； C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是
C 错，如图 3；
棱台
D 错，由棱台的定义知，其侧棱必相
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 交于同一点．
标轴 ．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于 y 轴的线段长度在直观图中 长度为原来 的一半 ．
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要点梳理
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4．空间几何体的三视图 (1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的
正前方 、 正上方 、 正左方 看到的物体轮廓线的
(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，还要看旋 转轴是哪条直线．
基础知识
题型分类
思想方法
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跟踪训练 1 如图是一个无盖的正方体盒
子展开后的平面图，A，B，C 是展开图上 的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值 为 A．30° B．45°
解析
( C ) C．60° D．90°
④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边 形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案 A
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题型一 空间几何体的结构特征
思维升华
(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形
的几何体不一定是棱柱．
(2)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要 注意“还台为锥”的解题策略．
数学
R B（理）
§8.1 空间几何体的三视图、直
观图、表面积与体积
第八章 立体几何
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要点梳理
1．多面体的结构特征
多面体 棱柱 结构特征 有两个面互相平行，而且夹在这两个平行平面 间的每相邻两个面的交线都 互相平行 . 有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个
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棱锥
(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几 ( )
何体的表面积为
A．48
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B．32＋8 17
题型分类
C．48＋8 17
思想方法
D．80
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题型三 空间几何体的表面积与体积
【例 3】
(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几 ( C )
何体的表面积为
思维启迪 先由三视图确定几何体的构成及度量，然后求表面积或体积．
还原正方体，如图所示，连接
AB，BC，AC，可得△ABC 是正三角 形，则∠ABC＝60° .
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题型二 空间几何体的三视图和直观图
【例 2】 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 1 的正方形，且体积为 ，则该几何体的俯视图可以是 2 ( )
基础知识
( C．2
思想方法
)
B ．1
题型分类
D．3
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题型一 空间几何体的结构特征
(2)①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；
②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价 于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如 图 1 所示；
③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两 边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图 2 所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
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题型二 空间几何体的三视图和直观图
【例 2】 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 1 的正方形，且体积为 ，则该几何体的俯视图可以是 2 ( C )
思维启迪 1 由主视图和左视图可知该几何体的高是 1， 由体积是 可求 2
出底面积．由底面积的大小可判断其俯视图是哪一个．
(2)正三角形 AOB 的边长为 a， 建立如图所 示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面
6 2 a 16 积是________．
1 2 2 3 2 6 2 ∴S△O′A′B′＝2× 2 S△OAB＝ 4 × 4 a ＝ 16 a .
思维升华
解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知
图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线 或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意 两个图形中关键线段长度的关系．
1 4π 23 2π 所以半球的体积 V2＝2× 3 ×( 2 ) ＝ 6 ，故所求几何体的 1 2π 体积 V＝V1＋V2＝6＋ 6 .
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题型一 空间几何体的结构特征
(2)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线 是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体 都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是 A．0
解析 由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为 1 1 1，由其体积是2可知该几何体的底面积是2，由图知 A 的面积是 1，B π 1 π 的面积是 ，C 的面积是 ，D 的面积是 ，故选 C. 4 2 4
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题型二 空间几何体的三视图和直观图
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)(2013· 湖南 )已知棱长为 1 的正方体的俯视图 是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的主视图的面积不可 能等于 A.1 B. 2 2－1 C. 2 ( 2＋ 1 D. 2 )
(2)如图，矩形 O′A′B′C′是水平放 置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原 图形是 A．正方形 C．菱形
公共顶点 的三角形.
棱锥被平行于底面 的平面所截, 截面 和 底面 之间的部分.
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棱台
基础知识
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要点梳理
2.旋转体的形成
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几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
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旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆
题型分类
旋转轴
矩形的一边 所在的直线 直角三角形的一直角边
题型二 空间几何体的三视图和直观图
(2)正三角形 AOB 的边长为 a， 建立如图所 示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面 积是________．
基础知识
题度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
(2)正三角形 AOB 的边长为 a， 建立如图所 示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面 积是________．
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要点梳理
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直棱柱 正棱锥
S 侧＝ ch
1 ch′ S 侧＝ 2 1 (c＋c′)h′ S 侧＝ 2
2
V＝ Sh
1 Sh V＝ 3
正棱台
1 V＝ (S 上＋S 下＋ 3 S上S下)h
4 3 V＝ 3πR
球
S 球面＝ 4πR
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) √ (6) √
解析
D A
6 2 3 3π
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题型一 空间几何体的结构特征
【例 1】
(1)下列说法正确的是
(