所以两方程联立消元得 ，
即 ，3分
所以 ，得 ．
因为 ，所以 ．4分
（2）证明： 时， 恒成立，等价于 恒成立．
令 ，
则 且 ．6分
令 ，则 且 ，8分
所以 时， ， 单调递增，
所以 ．
又因为 ，所以 ， 单调递增，所以 ，
所以 时， 恒成立，11分
即 时， 恒成立．12分
6．C
7．C
8．解：（1）由 且 ， ，
∵三棱柱 为直三棱柱，
∴ 平面 ，∴ ，4分
又 ，∴ 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ．6分
（2）设 ，则 ， ， ．由已知可得C到平面 的距离即为 的边 所对应的高 ，8分
∴
，11分
∴当 ，即 时， 有最小值18．12分
高考数学（理科）专题练习
函数与方程思想
解 析
1．由题意可知a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，
8．
9．
9．如图2，直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 和 上的点，且 ．
图2
（1）求证：当 时， ；
（2）当 为何值时，三棱锥 的体积最小，并求出最小体积．
高考数学（理科）专题练习
函数与方程思想
答 案
1．C
2．B
3．B
4．
5．解：（1）由 ，得 ，
，所以 ．1分
所以曲线 在点 处的切线为 ．因为直线 与曲线 也相切，
∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
7．设A1P＝x(0≤x≤)．
在△AA1P中，
AP＝＝，
在Rt△D1A1P中，D1P＝．
于是令y＝AP＋D1P＝＋，
下面求对应函数y的最小值．
将函数y的解析式变形，得y＝
Байду номын сангаас＋，
其几何意义为点Q(x，0)到点M与点N(0，－1)的距离之和，当Q，M，N三点共线时，这个值最小，且最小值为＝．
A． B．
C． D．
4．(2016·菏泽模拟)已知数列 满足 ， ，则 的最小值为________．
5．(2016·郑州模拟)已知函数 ， ，其中 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与曲线 也相切，求 的值；
（2）证明： 时， 恒成立．
题组2利用函数与方程思想解决几何问题
6．(2016·山西四校联考)设抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，若以 为直径的圆过点 ，则 的方程为()
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
7．如图1所示，在单位正方体 的面对角线 上存在一点 ，使得 最短，则 的最小值是()
图1
A． B．
C． D．
8．已知椭圆 的离心率 ，并且经过定点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）问：是否存在直线 ，使直线与椭圆交于 ， 两点，且满足 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
又n∈N*，当n＝7时，＝7＋－1＝，
当n＝8时，＝8＋－1＝．
又＜，故的最小值为．
5．
6．由抛物线的定义可知MF＝xM＋＝5，∴xM＝5－，y＝15p－，故以MF为直径的圆的方程为(x－xM)(x－xF)＋(y－yM)(y－yF)＝0，
即＋(2－yM)(2－0)＝0．
∴yM＝2＋－＝2＋⇒yM＝4，p＝或．
所以即
所以－＜k≤0，所以k的取值范围是．
4．由an＋1－an＝2n，得
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋60
＝n2－n＋60．
∴＝＝n＋－1．
令f(x)＝x＋－1，易知f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
高考数学（理科）专题练习
函数与方程思想
题组1运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题
1．(2016·济南模拟)已知 是等差数列， ，公差 ， 是其前 项和，若 ， ， 成等比数列，则 的值为()
A．16B．3
C．64D．62
2．若 ，则有()
A． B．
C． D．
3．若关于 的方程 的两根 ， 满足 ，则 的取值范围是()
解得d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．
∴S8＝＝4×(1＋15)＝64．
2．原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0．
3．构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，
解得 ， ，即椭圆E的方程为 ．4分
（2）设 ， ，
由
．
所以 ， ，8分
，
由 得 ，
即 ， ， ．
又方程 要有两个不等实根，
所以 ，解得 ，所以 ．12分
9．解：（1）证明：∵ ，∴ D，E分别为 和 的中点．1分
又 ，且三棱柱 为直三棱柱，
∴平行四边形 为正方形，∴ ．2分
∵ ，D为 的中点，∴ ．3分