l=8m，P=4900N， q=2450N/m ，M=4900N ⋅m； 求:B、E支座反力。
l l 1 3l − FB δθ + P δθ + 2 ql δθ − Mδθ = 0 4 8 4 8
P δθ
q
M
FAY = −2450N
FAX
P
q
M
FB = 14700 N
FB
q δθBiblioteka P FAY δθqM
对于具有摩擦或弹簧的非理想约束系统 ,把摩擦力和 弹性力视为主动力 .
δrB = l PB ⋅ δθ AB
——虚角度法
δrA
l
ϕ
δθAB
F A δ rA − FB δ rB = 0
FA l = PB = tan ϕ FB l PA
B
FB
δrB
（2）以整个系统为研究对象，根据约束的性质， 分析整个系统可能产生的运动，通过主动力在约束所容 许的微小位移（虚位移）上的元功，揭示质点系的平衡 条件。
螺旋压榨机中螺杆的螺距为 h.如果在手柄上作用一在水平面内的 力偶,其力偶矩为 2Fl,求平衡时作用于被压榨物体上的压力 (忽略螺 杆与螺母之间的摩擦 )
解：约束条件：手柄旋转一周 螺杆下降一螺距
给系统以虚位移 δϕ 由虚位移原理：
δr h = δϕ 2π
螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m ，螺距h=12mm。 今在OA的水平面内作用一垂直手柄的力P=160N， 试求举起重物B的重量。不计各处摩擦。 由虚功方程:
对质点系所有质点，都可以得到上面同样的 等式，把这些等式相加，得
mi
Fi
δW = ∑ Fi ⋅ δri + ∑ FNi ⋅ δri = 0
δri
FNi
质点系所受约束为理想约束时 约束力在质点系虚位移上做功之和为零.
(a) (b)
δW = ∑ Fi ⋅ δri = 0
虚功方程
对具有理想约束的定常质点系，其平衡的充要条件 是：作用于质点系的所以真实主动力在任何虚位移上所 作虚功的和等于零。——虚位移原理（虚功原理）
FE
l 1 l δ θ − ql δ θ − Mδ θ = 0 2 4 8
FE = 2450N
P
M
δrE
FE
试用虚位移原理求连续梁的支座反力. 解：求支座B处约束反力， 画出需位移图。 由虚功方程得：
( FB − P )lδ θ + Mδθ − 2qllδ θ = 0
F B= P + 2ql − M (↑) l
*如何用虚位移原理求解约束反力
在平衡体中将某些约束去掉代之以相应的约束反 力,将这些约束反力作为主动力,应用虚位移原理就可以 求解约束反力.
——虚位移投影法
FA
δ r B = δ r A tg ϕ
FA = tg ϕ FB
A
虚位移原理用于求解约束反力的步骤:
P （1）解除所求约束,把相应的约束反力视为主动力.
F AX = 0
NB
M
多跨静定梁，求支座B处反力。 解：将支座B 除去，代入相应的约束反力RB。
− P1δ r1 + R B δ rB − P2δ rC − m δθ = 0
R B = P1
δrE = 6δθ δθ EC =
在图示结构中，已知铅垂作用力 F，力偶矩为 M的力偶，尺寸 l。 试用虚位移原理求支座B与C处的约束反力。 05土建期末考试题 解除B处约束，系统的虚位移如图， F 应用虚位移原理：
如图平面机构,连线铅垂,杆 CB=BD,在图示瞬时,角ϕ=300, 杆AB水平,则该瞬时A点和C点的虚位移大小关系为 ( C )。
（2）虚速度法(瞬心法) *（3）虚角度法 δr l δθ AB = A = OA δθ l AK l AK
δ rA v A l = = KA δ rB v B l KB
1
δr1
3m δθ B
M
NA P
A 1
δr2
δrC
N Bδ rB − P 1δ r 1 − M δθ − P 2δ r 2 =0 δr1 = 5δ θ
δ rB = 8δ θ
δθ
P2
C
4m D
P3
4m E F
19δ θ δ2 = ⋅4 7
NB =
3 19 1 P P2 − M 1 + 8 14 8
F A=
4. 虚位移的概念：
在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实 现的任何无限小的位移称为虚位移。 虚位移不是经过dt时间所发生的真实小位移,而是假 想的、约束允许的、可能实现的任何一种无限小的位移。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 r 和 φ 的无限小 “变更” δx、δr、δϕ : 表示变量x、
E F
11δ δ2 = θ ⋅ 4 7
3 11 1 P1 − P2 − M 8 14 8
FD 2 l δ θ − M δ θ − 2 qll δ θ = 0
M F D= + ql (↑ ) 2l
FAlδθ − M δθ δ + 2 qll θ = 0 2 2
M − ql (↑ ) 2l
FA
δθ
FD
A
求A、B处约束反力. P1
A
∑F
D E F
i
⋅ δ ri = 0
δ C = 11 δ θ
3m
B
P2 4m P3 4m
C
N A δ rA − P1δ r1 + M δ θ + P2 δ r2 = 0
δθ
FB
8m
M 11m
δ r1 = 3δ θ
7m
11m
8m
NA =
δrA P
δθ
B C
P2
D
δ r A = 8δ θ P3
δφ ， 设曲柄的虚位移为 设曲柄的虚位移为δφ δφ， 力偶 M 的虚功： δ rB 滑块的虚位移为 滑块的虚位移为δ
δW = M δφ
力 F 的虚功：
δrA
δW =－ F δrB
δrB
6、理想约束
在质点系的任何虚位移中,如果约束反力所作的虚功 之和等于零，这种约束称为理想约束。
δWN = ∑ FNi ⋅ δri = 0
FB ⋅ δ rB − F ⋅ δ rD + M ⋅ δϕ = 0
δrB = lδθ
A
δ r1 δr δθ + P2 C + m δ rB δ rB δ rB
B
D
C
M
δrD = 2lδθ
δϕ =
6δθ = 2δθ 3
2lδθ l
A
l
l
F B D
l
l
M
FB = 2F −
δrC = 6 × 2δθ = 12δθ
r
2πl P = 50.27kN h 可知,当P=160N时 能举起50.27KN 的重物 是P 的314倍！
组合梁由铰链 C铰接AC和CE而成,已知跨度 l=8m，P=4900N ，均布 力q=2450N/m，力偶矩 M=4900N ⋅m；求支座反力。
FAX =0
l l 1 l F AY ⋅ δ θ − P δ θ + ql δ θ + 4 8 4 8 1 3l 1 ql δ θ − M δ θ = 0 4 16 2
图示橢圆规机构,连杆AB长为 ,杆l 重和滑道,绞链上的摩 擦力忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力FA和FB之 间的关系。 由虚位移原理： F Aδ rA − F BδrB = 0
δ rB cos ϕ = δ rA sin ϕ
F Aδ rA − FB δ rA tg ϕ = 0 δrA = l PA ⋅ δθ AB
δrA = lOAδθ
K
δrB = l BK δθ AB = l BK
δθAB
lOA δθ l AK
K
δθAB
δθ
*虚位移与实位移的区别： 虚位移是个纯粹的几何概念,与质点或质点系是否发 生运动无关.不涉及运动时间,只满足给定瞬时的约束方 程,是约束的直接结果。 实位移是在dt时间内真实发生的,它除满足约束方程 外，还满足动力学方程及初始条件. 在稳定约束情况下,实位移只是虚位移中的一种. 5、虚功: 力在虚位移中作的功.
Plδϕ − WδrB = 0 δrB h = δϕ 2π
δW = 2 Fl δϕ − FN δr = 0
δr = h δϕ 2π
约束条件：手柄旋转一周顶杆上升一螺距
Plδϕ − W W= h δϕ = 0 2π
h ⎛ ⎞ δ W = ⎜ 2Fl − FN ⎟δϕ = 0 2π ⎝ ⎠ h 2 Fl − FN = 0 2π l FN = 4π F h
理论力学
虚位移原理
主讲教师:邹翠荣
第十五章 虚位移原理
虚位移原理： 研究非自由质点系平衡问题的理论基础 §15-1 §15-2 §15-3 基本概念 虚位移原理 虚位移原理在静平衡问题上的应用
§15-1 基本概念
1、自由质点系:质点系中所有质点都可以在空间作自由 运动而不受任何限制。 2、非自由质点系:质点系中各质点在运动过程中,其位置 或位移必须服从某些预先规定的限制条件. 3、约束：对非自由质点系的运动施加的限制条件。 这些限制条件是以数学方程的形式来表示称为约束方程。
下面是几个约束方程的实例。
约束分类：
(1)几何约束:对质点系中各质点在运动中只限制运动时的几何位置 . (2)运动约束:不仅限制几何位置 ,还要对质点系的运动情况加以限制 .
(c)几何、运动约束 (a)、(b)几何约束
yC = r
(c)
(3)稳定约束(定常约束):约束的性质不随时间而变化 . 即约束方程中不显含时间 t. (4)不稳定约束(非定常约束 ): 约束随时间变化 . 即约束方程中显含 时间t.