.
令 cota = a ,则所求圆锥面方程为
z 2 a 2 ( x 2 y 2 ),
)
a
x2 z2 P26例 5 xoz 坐标面上的双曲线 2 2 1分别绕 x、z 轴旋 a c 转一周，求所得旋转曲面方程 x2 y2 2 z2 y
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面, 曲面方程为
O x z
.M
y
.N
C
简单地说，平面坐标系中的曲线方程 在空间坐标系中就表示柱面--举例
方程 f(x, y)= 0 在空间表示以 xoy 坐标面上的
平行于 z 轴的直线为母线的柱面. 曲线为准线，
类似地， 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的 曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准 线，平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
表示的空间曲线 球心在原点,半径 为 a 的上半球面
z
圆柱面: 母线平行于z轴, 底面是直径为 a , 圆心 ( a , 0 )的圆
2
y
圆柱底面参数化 :
a a a x cos x (1 cos ) , 2 2 2
a y sin 2
x
参数 的几何意义: 圆心角 ,0≤ ≤2p 代入球面方程得 z a 2 ax a 1 cos a sin
z
设 M 在 xoy 平面上的投影M′(x, y, 0)
螺距
x a cos t y a sin t z vt
螺旋线的参数方程
y
M
a
t
A
x
t
o
x A
M

M
y
逃逸实验:
0-0试验
逃逸塔
塔高8米,位于飞 船顶部,它装有 10台发动机
三、空间曲线在坐标面上的投影
设 L 为已知空间曲线, P 为已知平面 则以 L 为准线，垂直于 P 的直线 为母线的柱面称为L关于 P 的投影 柱面
xoy 坐标面上的抛物线为准线、
平行于z 轴的直线为母线.
z
O
y
x
抛物柱面 x2 = ay xoy 坐标面上的抛物线为准线、
z
平行于z 轴的直线为母线.
O y
x
四、二次曲面
三元二次方程 F ( x , y , z ) 0 所表示的曲面称为二次曲面. 平面称为一次曲面．
二平面的交线是直线; 平面和曲面的交线是平面曲线;
2 2
a x 2 (1 cos ) a y sin 2 z a sin 2
抛物柱面 x2=1-z 和平面 y=0, z=0 及 x+y=1 所围立体
z
x y
空间曲线可视为二曲面的交线
[2] 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
L
z
双曲抛物面是抛物 线 l 当其顶点沿抛 物线L平行移动所 产生的曲面
o
l
x
y
双曲抛物面是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
x2 y2 双曲抛物面（马鞍面） 2 2 z a b
当 x = x0
2 1 2 x0 z 2 y 2 b a
是形状相同开口朝下的抛物线
2 x0 抛物线的顶点坐标 ( x0 , 0, 2 ) a
同理与平面 x = x0 和 y = y0 的交线也是椭圆.
x2 y2 z2 3、椭球面 2 2 2 1 的几种特殊情况： a b c
(1) a b,
x y z 2 2 1 2 a a c
2 2 2
x2 y2 z2 2 1 可写成 2 a c
x2 z2 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转生成 的旋转椭球面 a c z
椭圆柱面：
x2 y2 2 1 2 a b xoy 坐标面上的椭圆为准线、
平行于z 轴的直线为母线.
z
z
O y x x O y
z2 方程 x 2 1 在空间表示以 xo z 坐标面上的椭 4 圆为准线， 平行于 y 轴的直线为母线的柱面,
z 2
O y
x
双曲柱面
x2 y2 2 2 1 b a
对垂直于z 轴的平面 z=z0
x2 z0 2 a 2 (1 2 ) c y2 z0 2 b 2 (1 2 ) c 1
o x
y
对垂直于y 轴的平面 y = y0
x2 y0 a (1 2 ) b
2 2

z2 y0 c (1 2 ) b
2 2
1
当 | y0|<b,实轴沿 x 轴方向 当 | y0|>b,实轴沿 z 轴方向
z
x2 y2 z2 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐近锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
在平面上，双曲线有渐近线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐近锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面 x 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。
PM 0 y0 ,
2 2
P
. M
.
M0 C
O
PM PM0 , z z0 , y0 x y ,
y
x
因为 M0 在曲线 C 上，故 f ( y0 ,z0 )=0
f ( x 2 y 2 , z ) 0. 即得 C 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程:
同理, C 绕 y 轴旋转的旋转曲面方程:
x2 y2 z 2 a
这是由抛物线 y2=a2z 绕 z 轴旋转生成的旋转抛物面
x2 y2 ⑥双曲抛物面（马鞍面） 2 2 z a b
对 z = z0 ,对应于 z0>0, <0 的截痕是双曲线 这些双曲线都以 z0=0所对应的直线
y b x a 为共同渐近线
对 x = x0 是形状相同开口朝下的抛物线 对 y = y0 则是形状相同开口朝上的抛物线
同样, 对垂直于x 轴的平面 x = x0
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。
x2 y2 z2 2 2 1 ④双叶双曲面 2 a b cox源自y双曲面的渐近锥面
二个曲面的交线是空间曲线;
已知平行截面面积可计算体积; 已知平行截面形状可掌握曲面形状．
截痕法：
曲面方程, 平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）, 曲面形状
① 椭圆锥面
x2 y2 2 z2 a2 b
当 x=0为二条相交直线 y= ±bz
o x
y
一般锥面---扩充知识点
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的： 若 F (tx, ty, tz ) t n F ( x, y, z ). t是任意数 n次齐次方程
曲面讨论的两个基本问题：
（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转所 成的旋转曲面 的方程. z 设 M( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点， 过点 M 作平面垂直于 z 轴， 交 z 轴于点 P ( 0, 0, z )， 交曲线 C 于点M0(0, y0, z0 ). 显然 PM x 2 y 2 ,
x2 y2 z2 a b c, 2 2 2 1 a a a
x
( 2)
O
y
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 . 由圆
x2 y2 2 1 2 a a
绕 x 轴或 y 轴旋转生成的球面
双曲面
z
2 2 2
x y z 2 2 1 ③单叶双曲面 2 a b c
x x( t ) y y( t ) z z(t )
P32 例1
方程组
z
x2 y2 1 2 x 3z 6
表示的曲线
y x
z a2 x2 y2 P32例2 方程 a a ( x )2 y 2 ( )2 2 2
在 Oxyz 空间坐标系中应视作三元方程而表示一曲面S
设xOy平面上点 N (x, y) 在曲线 C 上,即 f (x , y)= 0
过N 作z轴平行线 l, 则l 上的点M (x, y, z) 满足空间坐标系Oxyz中的三元方程 f (x , y)= 0 反之亦然 因此方程 f (x , y)= 0 在 oxyz 空间 坐标系中表示由平行 z轴直线 l 沿曲线 C 平移所成曲面 L
x2 y2 z2 2 2 1 2 a c c
z
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面, 曲面方程为
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
z
o
x
三、柱面
动直线 L沿给定曲线 C 平移所形成的曲面称为柱面. 曲线 C 称为柱面的准线，
平移的动直线 L 叫柱面的母线.
方程 f (x , y)= 0 在 xoy 平面上表示一条曲线 C
x2 z2 2 2 1 c a y 0
y2 z2 2 2 1 c b x 0
z z
o o x x
y y