3.一 射 手 对 同 一 目 标地 独进 立行 四 次 设 计 ，少 若命 至中 一 次 的
2 4 . 若随机变量 X 在 ( 1 , 6 ) 上服从均匀分布，则 程 x Xx 1 0
有实根的概率是 ______ .
概率作业第二章自测题
1 1 x 6 答案 0 .8 ： 提 示f ： (x) 5 。设事 A 件 “方程有实根 其它 0 2 2 而 方x 程 Xx 10 有 实 根 的 充 要 条 X 件 是 40 即 A{X2 40 }{X2 4 }{X 2 }{X 2 }
密度函数。 1 a xb 解：设 X“ : 球的直径” X。 ~ U[a, b], f ( x) b a 其它 0 1 1 6v 6v 3 3 3 3 V X , F(v) P(V X v) P( X ) P( X ) 6 6
0 1 1 2
2 x ( 2 ) 0 x 1 时， F ( x ) f ( t ) dt ( 1 t ) dt x . 0 2 x x 2 x 1 x 2 时， F ( x ) f ( t ) dt ( 1 t ) dt ( t 1 ) dt x 1 0 1 2 x 1 x
ln 10 2 . 3025 n n 1 0 . 5 0 . 9 0 . 5 0 . 1 , n 3 . 322 ln 2 0 . 6931 n 4
5.(柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为: F ( x ) A B arctan x , x
概率作业第二章自测题
一、填空题 1k 1 . 设离散型随机变量 X 的分布律为 P (X k ) 5 A ( )( k 1 , 2 , ) 2 则 A _______ . 1 答案与提示： 。 5
ax b 0x 1 2 . 已知随机 X 的 变 密 量 度 f( 为 x ) ： 其它 0 1 5 且 P (X ) ,则 a_____, b______ . 2 8 1 1 1 5 答案与提 a 示 1 ,b ： . 提示 ( ax ： b ) dx 1 , ax b ) dx 1( 0 2 8 2

a
f (t)dt f (t)dt F(a)

a
1 a (其中 t x).F(a) f ( x)dx. 2 0
概率作业第二章自测题
2 . 下列函数中，可作为某 一随机变量的分布函数 是 _______ . 1 (A )F (x )1 2 ; x 1 ( 1ex) (C )F (x )2 0 1 1 (B )F (x ) arctan x ; 2
求（1）系数 A及B；（2）X 落在区间(-1,1)内的概率；
（3） X 的密度函数。
概率作业第二章自测题
lim F ( x ) 0 , lim F ( x ) 1 解 （1） x x
lim ( A B arctan x ) A B 0 , x 2
0 a
( C ) F (a )F ( a );
1 a (B ) F ( a ) f(x ) dx ; 0 2 (D )F ( a )2 F (a ) 1 .
概率作业第二章自测题
答案： B. 提示： f ( x) f (x); f ( x)dx 2
0

P
a

1 a f(x ) dx 1 a ;P e 0 故 与 无关且递增 a e
概率作业第二章自测题 三、解答题
1 . 从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中一件一 件地抽取产 品为止，求抽取次数的 分布律。（ 1 ）放回；（ 2 ）不放回。

x

f( t ) dt 1 t ) dt , 两边求导， f( x )f( x ) f(

x
概率作业第二章自测题
x Ae x 4 . 已知随机变量 X 的密度函数 f(x ) (0 ,A 为常数 x 0 则概率 P ( xa )( a0 ) 的值 _______ .

1 ( x ) F ( x ) , x （3） f 2 1 x


概率作业第二章自测题
6 x ( 1 x ) 0 x 1 6 . 随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ，求随 其它 0 变量 Y 2 X 1 的概率密度。
解： F ( x) 6t (1 t )dt (3t 2t ) 3 x 2 2 x 3
2 3 0 0 x x
1 F ( y) P(Y 2 X 1 y) P( X ( y 1)) 2 1 1 ( y 1) 1 2 3 2 ( y 1) 2 6t (1 t )dt (3t 2t ) ( y 1)2 (4 y) 0 0 4 3 ( y 1)(3 y) 1 y 3 f ( y) F ( y) 4 0 其它
f ( x)dx 1


0
f ( x)dx f ( x)dx
0
a

a
1 f ( x)dx , 2

a

a
1 a f ( x)dx f ( x)dx,由 f ( x) f (x)， 0 2
a

f ( x)dx
f (x)dx
有相同的分布函数，则 下列各式中正确的是 _______ . ( A ) F ( x ) F ( x ); ( B ) F ( x ) F ( x ); ( C )f( x )f( x ); ( D )f( x ) f( x ) 答案： C . 提示：由 P ( X x ) P ( X x ) 易得 F ( x ) 1 F ( x ) 即
概率作业第二章自测题
k , k 6 6 1 2 6 xy dy 2 x 0 x 1 ( 2 ) 由 公f 式 ( x ) ： f ( x , y ) dy 0 X 0 其它 1 2 2 6 xy dx 3 y 0 y 1 f ( x ) f ( x , y ) dx 0 Y 其它 0
2 kxy 0 x 1 , 7 . 二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f( x ,y ) 0 y 1 0 其它 求（ 1 ）常数 k （ ;2 ） X 、 Y 的边缘密度；（ 3 ）问 X 、 Y 是否独立
2 解1 ） ： 1 （ f ( x , y ) dxdy dx kxy dy k xdx y dy 2 0 0 0 0 1 1 1 1
概率作业第二章自测题
x2 0 x1 x 2 2 x F ( x) x 1 1 x 2 2 x2 1
3 31 3 5 2 3 ( 3 ) P ( X ) F () () () 1 2 22 2 2 8
概率作业第二章自测题
3
3.对 球 的 直 径 作 测 量其 ，值 设均 匀 地 分 布 [a, 在 b] 内，求体积的
6v


f ( x)dx
3
6v

a
1 1 3 6v dx [ a] ba ba
(其 中 a
3
6v

b)
f ( v ) F ( v )
3 3 1 6 a b 3 v 2 f( v ) 3 ( b a ) v 6 6 0 其它
各种产品被抽到的可能 性相同，求在两种情况 下，直到取出
解X ： “k 第 次取到合 k 格 1 , 2 , 品 3 ”则 10 3 10 3 3 10 （ 1 ） P ( X 1 ) ,P ( X 2 ) 2 ,P ( X 3 ) , , 3 13 13 13 k 1 3 10 P ( X k ) . k 13 10 (2 )X “第 k 次取到合格 k 品 1 ,2 ,3 ” ,4 .P 则 (X1 ) , 13 3 10 6 3 2 10 5 P (X2 ) ,P (X3 ) , 13 12 25 13 12 11 143 3 2 1 10 1 P (X4 ) . 13 12 11 10 286
2 1 4 P (A )P {X 2 }P {X 2 } dx 0 dx 0 .8 25 5 二、选择题 1 .设 X 的密度函 f(x 数 ), 分 为 布函 F 数 (x ), 为 且 f(x ) f( x ). 那么 6
对任意给 a 都 定 有 _______ 的 . (A )f( a )1 f(x ) dx ;

lim ( A B arctan x ) A B 1 , x 2 11 1 1 F ( x ) arctan x , x A , B , 2 2
1 1 1 1 0 .5 1 X 1 F 1 F 1 （2） P 2 4 2 4 一次的概率不小于 0 . 9
0 0 n 解： P ( 至少 A 发生一次 ) 1 P ( A 发生 0 次 ) 1 C ( 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) n
4 . 设在独立重复的试验中 ，每次试验成功的概 为 0 . 5 ，问需要
x xo ; (D )F (x ) f(x )dx ,其中 f(x)dx1 其它
1 答案： B . 提示： (A )F ( )1 ,(C )F ( ) ,(D )f(t)0 ? 2 3 . 假设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ), 密度函数为 f( x ), 若 X 与 X