mg F 向 φω F 万有引力和航天知识的归类分析一．开普勒行星运动定律1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2、开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

实例、飞船沿半径为r 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如图所示。

若飞船要返回地面，可在轨道上某点处将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在某点相切，已知地球半径为R ，求飞船由远地点运动到近地点所需要的时间。

二．万有引力定律实例2、设想把质量为m 的物体放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是 （ ）A 、零B 、无穷大C 、2R GMm D 、无法确定 小结：F=221r m Gm 的适用条件是什么三．万有引力与航天（一）核心知识万有引力定律和航天知识的应用离不开两个核心1、 一条主线，本质上是牛顿第二定律，即万有引力提供天体做圆周运动所需要的向心力。

2、 黄金代换式GM ＝g R 2此式往往在未知中心天体的质量的情况下和一条主线结合使用（二）具体应用应用一、卫星的四个轨道参量v 、ω、T 、a 向与轨道半径r 的关系及应用1、理论依据：一条主线2、实例分析如图所示,a 、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R 和2R(R 为地球半径).下列说法中正确的是( )A.a 、b 的线速度大小之比是 2∶1B.a 、b 的周期之比是1∶2C.a 、b 的角速度大小之比是3 ∶4D.a 、b 的向心加速度大小之比是9∶4小结：轨道模型：在中心天体相同的情况下卫星的r 越大v 、ω、a 越小，T 越大，r 相同，则卫星的v 、ω、a 、T 也相同，r 、 v 、ω、a 、T 中任一发生变化其它各量也会变化。

应用二、测量中心天体的质量和密度1、方法介绍方法一、“T 、r ”计算法在知道“T 、r ”或“v 、r ”或“ω、r ”的情况下，根据一条主线均可计算出中心天体的质量，这种方法统称为“T 、r ”计算法。

在知道中心天体半径的情况下利用密度公式还可以计算出中心天体的密度。

方法二、“g 、R ”计算法利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R. 2、实例分析 例4：已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球:绕地球的运转周期T 1,地球的自转周期T 2,天体密度故天体质量由于,,22G gR M mg R Mm G ==.π43π343GRg R M VM ===地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M 的方法:同步卫星绕地心做圆周运动,由(1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果.(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.应用三、双星问题1、双星问题的特点①双星间的万有引力提供双星做圆周运动的向心力②双星做圆周运动的圆心在双星间的连线上的某点③两星球做圆周运动的周期和角速度相等2、实例分析：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。

它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。

如果双星间距为，质量分别为和，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。

说明：处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。

弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。

应用四、第一宇宙速度的计算第一宇宙速度=最小发射速度=最大环绕速度1、第一宇宙速度的计算方法方法1、根据 GMm/R 2=mv 2/R 计算 方法2、根据v ＝Rg ，特别注意g 可以和有关抛体运动的知识联系在一起 2、实例分析实例 (2009?北京) 已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响.(1)推导第一宇宙速度v 1的表达式；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面的高度为h ，求卫星的运行周期T .:应用五、卫星的变轨问题1、问题突破口卫星变轨问题必定和离心和向心运动联系在一起，当卫星从高轨道运动到低轨道时做向心运动，此时卫星受到的万有引力大于向心力；当卫星从低轨道运行到高轨道的时做离心运动，此时卫星受到的万有引力小于向心力。

2、实例分析实例1、我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图,如图所示,卫星由地面发射后,经发射轨道进入停泊轨道,然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道,经过几次制动后进入工作轨道,卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球的质量之比为a,卫星的停泊轨道与工作轨道半径之比为b,卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则( )A.卫星在停泊轨道和工作轨道运动的速度之比为B.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为C.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度D.卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道,卫星必须加速实例2、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。

轨道1、2相切于Q 点。

轨道2、3相切于P 点（如图），则当卫星分别在1，2，3，轨道上正常运行时，以下说法正确的是A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道１上的速率B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道１上的角速度C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度实例3、某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。

每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，以、表示卫星在这两个轨道上的线速度大小，、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（ ）A ．，，B ．，， b aa b 23 P 1 QC ．，，D ．，，应用六、卫星的追及问题1、问题突破口卫星的追及问题关键找到两卫星追及过程中所转过的角度关系。

从第一次相距最近到第二次相距最近，两卫星转过的角度差为2π从第一次相距最远到第二次相距最远，两卫星转过的角度差为π实题分析：实例1在太空中有两飞行器a 、b ，它们在绕地球的同一圆形轨道上同向运行，a 在前b 在后，它都配有能沿运动方向向前或向后喷气的发动机。

现要想让b 尽快追上a 并完成对接，b 应采取的措施是 （ ）A 、沿运动方向喷气B 、先沿运动方向喷气，后运动沿反方向喷气C 、沿运动反方向喷气D 、先沿运动反方向喷气，后沿运动方向喷气实例2两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的高度等于，卫星离地面高度为，则：（1）、两卫星运行周期之比是多少（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则至少经过多少个周期与相距最远 应用七、天体运动中的超重和失重问题1、 问题突破口超重和失重问题本质上是牛顿第二定律的应用，此类问题要特别注意随着高度的变化重力加速度g 也变化2、 实例分析 某物体在地面上受到的重力为，将它放置在卫星中，在卫星以加速度随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为时，求此时卫星距地球表面有多远（地球半径，取）应用八、天体运动和抛体运动的结合问题1、 关键点利用抛体运动求出该地的重力加速度2、实例分析实例分析1、在太阳系中有一颗行星的半径为R,若在该星 球表面以初速度v 0竖直上抛一物体,则该物体上升 的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G 未知).则根据这些条件,可以求出的物理量是 ( )A.该行星的密度B.该行星的自转周期C.该星球的第一宇宙速度D.该行星附近运行的卫星的最小周期实例分析2、 宇航员在月球上将一小石块水平抛出,最后落在月球表面上.如果已知月球半径R,万有引力常量G.要估算月球质量,还需测量出小石块运动的物理量是 ( )A.抛出的高度h 和水平位移xB.抛出的高度h 和运动时间tC.水平位移x 和运动时间tD.抛出的高度h 和抛出点到落地点的距离L 应用九、同步卫星的应用1. 同步卫星（1） 关键点：同步卫星的“三定”①周期一定，T=24h 。

卫星相对地面不动，顺向（自西向东）绕地心转动的周期与地球自转的周期相同。

②离地高度一定。

由()()h R m h R GMm +=+22ω得432106.3⨯=-=R GM h ωkm 。

③轨道平面一定。

稳定时，所有的同步卫星只有一个可能的轨道；以地心为圆心、与赤道共平面且位于赤道正上方（同步卫星若不发射到赤道上方，卫星在绕地球运转时，会在赤道附近振动）。

(2)实例分析实例1、如图所示，a 是静止在地球赤道上的物体，b 、c 是两颗人造地球卫星，其中c 是地球的同步卫星，a 、b 、c 在同一平面内沿不同的轨道绕地心做匀速圆周运动，三者绕行方向相同（为图中顺时针方向），已知R b ＜R c ．若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示，那么再经过6小时，a 、b 、c 的位置可能是图中的 （ ）实例2、均匀分布在地球赤道平面上的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极等少数地区外的“全球通信”。

已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，同步卫星所在的轨道处的重力加速度为g′，地球自转周期为T ，下面列出的是关于三颗卫星中任意两颗卫星间距离s 的表达式，其中正确的是 （ ） ①322243T gR π ②322243πT gR ③'3g g R ④gg R '3 ⑤R 32 A.①③ B.②④ C.④⑤ D.②③实例3、侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?（设地球的半径为R ，地面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T ）2. 在赤道上的物体、近地卫星和同步卫星的比较（1）关键点（1）在赤道上的物体和同步卫星具有相同的ω和T（2）近地卫星和同步卫星均由各自受到的万有引力提供向心力，往往根据F 万=F 向建立方程分析（2）实例分析实例分析1、地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受到的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则( )A.F 1＝F 2>F 3B.a 1＝a 2＝g >a 3C.v 1＝v 2＝v >v 3D.ω1＝ω3<ω2实例分析2、同步卫星距地心间距为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，地球半径为R .第一宇宙速度为v 2，则下列比值正确的是( )A.R r a a =21B. 221)(R r a a =C.r R v v =21D. Rr v v =21 应用十：卫星的能量问题1. 关键点：卫星的机械能包括动能和引力势能。