解 Qe
− ax
sin bx ≤ e
− ax
, 而 ∫ e − ax dx 收敛 .
0
∴∫
+∞
0
所以所给广义积分收敛. e − ax sin bx dx 收敛 . 所以所给广义积分收敛
二、无界函数的广义积分的审敛法
(比较审敛法 2) 设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 定理6 上连续， 上连续，且 f ( x ) ≥ 0, lim f ( x ) = +∞ .如果存在
x →a + 0
存在, 则广义积分
∫
b
a
f ( x )dx 收敛； 收敛；
x →a + 0
如果存在常数 q ≥ 1，使得 lim ( x − a )q f ( x ) = d > 0 (或 lim ( x − a )q f ( x ) = +∞ ), 则广义积
x →a + 0
发散． 分 ∫ f ( x )dx 发散．
f ( x ) dx .
收敛. 收敛
定义 满足定理 5条件的广义积分 称为绝对收敛 .
+∞
∫a
+∞
f ( x )dx
对 敛 广 积 绝 收 的 义 分∫ f (x)dx 必 收 ． 定 敛
a
例5 判别广义积分
∫
+∞
0
e − ax sin bxdx (a , b 都是
+∞
常数a > 0) 的收敛性 .
+∞ +∞
例１ 判别广义积分 解 Q0 <
∫
+∞ 3
1
dx 的收敛性 . 4 x +1 4 p = > 1, 3
3
1 1 < 3 4 = 4/ 3 , 4 x x +1 x
1
根据比较审敛法１ 根据比较审敛法１，
广义积分 ∫
+∞ 3
1
dx 收敛 . 4 x +1
极限审敛法１ (极限审敛法１) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 定理4 (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果存在常数 p > 1， 上连续， 存在， 收敛； 使得 lim x f ( x ) 存在，则 ∫ f ( x )dx 收敛；
a
b
例6
判别广义积分
∫
3
1
dx 的收敛性 . ln x
的左邻域内无界． 解 Q 被积函数在点 x = 1 的左邻域内无界．
由洛必达法则知
1 1 lim ( x − 1) = lim = 1 > 0, x →1+ 0 ln x x →1+ 0 1 x 根据极限审敛法2,所给广义积分发散 所给广义积分发散. 根据极限审敛法 所给广义积分发散
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法. 敛性的判定方法
定理１ 上连续， 定理１ 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续， 且 f ( x ) ≥ 0．若函数 F ( x ) = ∫ f ( t )dt
a x
上有界， 在 [a ,+∞ ) 上有界，则广义积分
三、Γ − 函数
定义 Γ( s ) = ∫ e x dx ( s > 0)
−x s −1 0 +∞
特点: 积分区间为无穷; 特点 1.积分区间为无穷 积分区间为无穷
2.当 s − 1 < 0 时被积函数在点 x = 0 的 右领域内无界 .
设 I1 = ∫ e x dx , I 2 = ∫ e − x x s −1dx ,
π 3．余元公式 Γ( s ) Γ(1 − s ) = ( 0 < s < 1). sin πs
+∞ 0 +∞
４．在 Γ( s ) = ∫ e − x x s −1dx 中，作代换 x = u 2， 有 Γ( s ) = 2 ∫ e
0 − u2
u 2 s −1du.
四、小结
广义积分审敛法
无无极无无无无无比比比 比比比比比１ 无无无无无无无无无比比比 极极比比比２
a a +∞ +∞
也收敛； 也收敛；如果 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) (a ≤ x < +∞ ), 并 发散， 也发散． 且 ∫ g ( x )dx 发散，则 ∫ f ( x )dx 也发散．
a a +∞ +∞
证 设 a < b < +∞ ，由 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x )及 ∫ g ( x )dx
x →a + 0
M (a < x 常数 M > 0 及 q < 1，使得 f ( x ) ≤ q ( x − a) ≤ b ), 则广义积分
∫
b
a
f ( x )dx 收敛；如果存在常数 收敛；
N N > 0 及 q ≥ 1，使得 f ( x ) ≥ (a < x ≤ b ), q ( x − a) 则广义积分
根据极限审敛法１ 所给广义积分发散． 根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
+∞
上连续， 定理5 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续， 如果 ∫
+∞ a
f ( x ) dx 收敛；则 ∫ f ( x )dx 也收敛． 收敛； 也收敛．
a
+∞
1 证 令 ϕ ( x ) = ( f ( x ) + f ( x ) ). 2 +∞ Q ϕ ( x ) ≥ 0，且 ϕ ( x ) ≤ f ( x ) , ∫ f ( x )dx 收敛 ,
∫
+∞
0
e
− xn
dx ( n > 0);
1 p 2. ∫ (ln ) dx . 0 x
1
为自然数） : 三、证明（其中 n 为自然数） 证明（
π Γ ( 2n ) = 2
2 n −1
1 Γ( n)Γ( n + ). 2
练习题答案
一、1、收敛； 2、收敛； 3、发散； 4、收敛； 、收敛； 、收敛； 、发散； 、收敛； 1 1 二、 1、 Γ( ), n > 0; n n 2、 Γ( p + 1), p > −1.
极极比比比１ 比比比比比２
绝 对
收
敛
练 习 题
的收敛性： 一、判别下列广义积分 的收敛性： x2 1. ∫ dx; 4 2 0 x + x +1 2 dx 3. ∫ ; 3 1 (ln x )
+∞ +∞
2. 4.
∫ ∫
1
sin
2
1 3
1 dx; 2 x dx ; 2 x − 3x + 2
函数表示下列积分， 二、用 Γ − 函数表示下列积分，并 指出这些积分的 收敛范围： 收敛范围： 1.
a
∴ ∫ ϕ ( x )dx 也收敛 . 但 f ( x ) = 2ϕ ( x ) − f ( x ) ,
a
+∞
∴ ∫ f ( x )dx = 2 ∫ ϕ ( x )dx − ∫ f ( x ) dx ,
a a a
b
b
b
即
∫
+∞
a
f ( x )dx = 2 ∫ ϕ ( x )dx − ∫
a
+∞
+∞
a
Байду номын сангаас
x3/ 2 dx 的收敛性 . 例３ 判别广义积分 ∫ 1 1 + x2 x3/ 2 x2 x = +∞ , = lim 解 Q xlim x 2 2 x → +∞ 1 + x → +∞ 1 + x
+∞
根据极限审敛法１ 所给广义积分发散． 根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
arctan x dx 的收敛性 . 例４ 判别广义积分 ∫ 1 x arctan x π = lim arctan x = , 解 lim x x → +∞ x → +∞ x 2
a
+∞
收敛， 收敛，得
b a
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx .
a a
b
+∞
上有上界． 即 F (b ) = ∫ f ( x )dx 在 [a ,+∞ ) 上有上界．
由定理１ 由定理１知
∫
+∞
a
f ( x )dx 收敛． 收敛．
+∞ a
如果 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ), 且 ∫ g ( x )dx发散, 则 ∫ f ( x )dx 必定发散 .
根据极限审敛法 1, I 2 也收敛 .
Γ(s )
由 (1), ( 2) 知
∫
+∞
0
e − x x s −1dx 对 s > 0 均收敛 .
o s
Γ－函数的几个重要性质： 函数的几个重要性质：
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0). ２．当 s → +0 时， ( s ) → +∞ . Γ
a +∞
Q 如果 ∫ f ( x )dx 收敛，由第一部分知 收敛，
a
+∞
也收，这与假设矛盾． ∫ g( x )dx 也收，这与假设矛盾．
a
+∞
例如， 例如， 广义积分 ∫
+∞
a