数学分析第十二章数项级数积分判别法
第八讲
数学分析第十二章数项级数
定理12.9（积分判别法）
积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.
设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞
⎰同时收敛或同时发散.
证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是
对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑
数学分析第十二章数项级数-≤≤-=⎰1()()d (1),2,3,.
n
n f n f x x f n n 依次相加可得1
122
1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰若反常积分收敛,有
111()(1)()d (1)()d .
m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰
根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛.
则由(12)式左边, 对任何正整数m ,
数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有
-≤≤=∑⎰11()d ().
(13)m
m f x x S f n S 1
0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+⎰因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑⎰
是同时发散的.112
21()()d (1)().(12)m m
m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞
⎰根据定理反常积分收敛用同样方
数学分析第十二章数项级数例12 讨论1.p p n
级数的敛散性∑1(),0[1,)p f x p x
当时在=>+∞解函数上是非负减函时发散.
是发散的.
数，1d 1p x p x
+∞>⎰反常积分在时收敛，.1时发散≤p 故1()p f n n
=∑∑由积分判别法得01p <≤当≤0p 的情形, 则可由收敛的必要条件知它也至于1p >当时收敛，
数学分析第十二章数项级数例13 讨论下列级数的敛散性.∞∞==∑∑2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )
p p n n n n n n n 解2d ,(ln )
p x x x 研究反常积分由于+∞⎰(i)1,1.
p p 数在时收敛时发散>≤3d (ii),,(ln )(lnln )
p x x x x 对于考察反常积分同样可+∞⎰1p ≤推得级数(ii) 在p > 1时收敛, 在时发散. ()()()22d ln d ln ln p p x x x x x +∞+∞=⎰⎰ln 2d p
u u +∞=⎰时发散，时收敛，当11≤>p p 根据积分判别法得级
复习思考题
数学分析第十二章数项级数
1.设n u ∑为收敛的正项级数，则一定存在收敛的正n v ∑lim 0n n n
u v →∞=项级数,使得. 也就是说没有收敛得最慢的级数.1,1n n u u +<有n u ∑n N >2.如果正项级数满足对一切(1),?
n n n u u <∑或能否得出收敛4.总结判别法使用规律.
3.如果对每个正整数p ，正项级数都有?n u ∑能否得出收敛12lim()0n n n p n u u u +++→∞
+++= ，是否存在发散得最慢的级数？。