第3章 平稳随机过程的谱分析付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。

对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？3.1 随机过程的谱分析3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析)(t f 是非周期实函数， )(t f 的付里叶变换存在的充要条件是：1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件；2．)(t f 绝对可积：+∞<⎰+∞∞-dt t f )(3．若)(t f 代表信号，则)(t f 信号的总能量有限，即：+∞<⎰+∞∞-dt t f 2)()(t f 的付里叶变换为：⎰+∞∞--=dt e t f F t j ωω)()(付里叶逆变换为⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t j )(21)(重要等式：⎰⎰+∞∞-+∞∞-=ωωπd F dt t f 22)(21)(此等式称为帕塞瓦（Parseval ）等式，其物理意义是：等式左边信号在时域上的总能量，等式右边的2)(ωF 可认为是单位频带内的能量，总能量通过积分⎰+∞∞-ωωd F 2)(得到，称2)(ωF 等于为能谱密度。

3.1.2 随机过程的功率谱密度一、样本函数的平均功率问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程)(t X 时，取)(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分析。

问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能量是无限的，需考虑平均功率。

若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足+∞<=⎰-∞→TTT dt t x TW 2)(21limW 称为样本函数)(t x 的平均功率。

对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。

二、截取函数对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T，它满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(称)(t x T为)(t x 的截取函数。

三、截取函数的付里叶变换 0>T ，取定后，)(t x T的付里叶变换一定存在：⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(其付里叶逆变换为：⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)(其帕塞瓦（Parseval ）等式为⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-==ωωπd X dt t x dt t x T TTT 222)(21)()(四、随机过程的平均功率说明：)(t x T与)(ωT X 具有随机性，因为)(t x 是)(t X 的一个样本，具有随机性，因此，)(t x T与)(ωT X 都是随机变量。

由⎰⎰+∞∞--=ωωπd X dt t x T TT22)(21)(⇔ ⎰⎰+∞∞--=ωωπd X Tdt t x TT TT22)(41)(21⇔])(41[])(21[22⎰⎰+∞∞--=ωωπd X TE dt t x TE T TT⇔⎰⎰∞+∞--=ωωπd TX E dt t x E T T TT2])([21])([2122⇔ ⎰⎰∞+∞-∞→-∞→==ωωπd TX E dt t x E T W T T TT T 2])([lim 21])([21lim 22称⎰-∞→=T T T dt t x E T W ])([21lim 2为随机过程)(t X 的平均功率。

记TX E S T T X2])([lim)(2ωω∞→=，称)(ωXS 为随机过程)(t X 的功率谱密度。

)(ωX S 描述了随机过程)(t X 的功率在各个频率分量上的分布。

3.1.3功率谱密度与复频率面拉谱拉斯变换回顾：在付里叶变换中，令ωj s =，便有变换为⎰+∞∞--=dt e t f s F t s )()(这便是有名的拉谱拉斯变换。

令ωσj s +=，用s 来代替ω，得)(s S X，s 是复频率。

应用复频率来表示平稳随机过程的功率谱密度，在某些实际应用中是很方便的。

取0=σ，)(s S X 便是由拉谱拉斯变换引伸出的频谱分析。

3.2 功率谱密度的性质 1．功率谱密度为非负函数，即：0)(≥ωX S2． 功率谱密度为ω的实函数。

3．功率谱密度为ω的偶函数：)()(ωω-=X X S S证明：4．功率谱函数可积∞<⎰∞∞-ωωd S X )(5．有理谱密度是实际应用中最觉常见的一类功率谱密度，自然界和工程实际应用中的有色噪声常常可用有理函数形式的功率谱密度来逼近。

这时，)(ωXS 可以表示为两个多项式之比，即2222222022222220)()(d d d c c c S S N N N M M M X ++++++++=----ωωωωωωω必须满足N M <。

3.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系定理：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间构成付里叶变换对，即：设)(ωXS 是功率谱密度，)(τX R 是自相关函数，则有 ⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j X X )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j X X )(21)(证明：TX E S T T X 2])([lim)(2ωω∞→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*∞→T X X E T T T 2)()(lim ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰---∞→TTTTt j t j T dt e t X dt et X TE 221121)()(21lim ωω⎰⎰----∞→=T T t t j TTT dt dt e t X t X E T 21)(2112)]()([21lim ω⎰⎰----∞→=TT t t j TTX T dt dt e t t R T21)(2112),(21lim ω令1t t =， 12t t -=τ，则1dt dt =，τd dt =2{}⎰⎰-----∞→+=tT tT j TTX T X d e dt t t R T S ττωωτ),(21lim)(⎰⎰∞∞---∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ττωτd e dt R T j TT XT )(21lim⎰∞∞--∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅=ττωτd e T R T j X T 2)(21lim⎰∞∞--=ττωτd e R j X )()(ωX S 与)(τX R 的相互关系反映了时域特性与频域特性之间的联系，是分析随机信号的一个最重要、最基本的公式：可以相互利用，使求解计算大大简化。

3.4 联合平稳随机过程的互谱密度1． 两个随机过程)(t X 、)(t Y 的截取函数设)(t x 、)(t y 分别为)(t X 与)(t Y 的样本函数，令：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t y t y T 0)()()(t x T 、)(t y T 分别称为)(t x 与)(t y 的截取函数。

2． 截取函数的付里叶变换)(t x T 、)(t y T 的付里叶变换分别为⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t y dt et yx Y ωωω)()()(付里叶逆变换分别为⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)( ⎰+∞∞-=ωωπωd e Y t y t j T T )(21)(3． 样本函数互功率样本函数)(t x 与)(t y 的互功率定义为：⎰-∞→=TTT xy dt t y t x TW )()(21lim4． 帕塞瓦定理根据帕塞瓦定理，有⎰⎰∞∞-*∞∞-*=ωωωπd Y X dt t y t x T T T T)()(21)()(又，⎰⎰∞∞-*-=dt t y t x dt t y t x T T TT)()()()(所以，⎰⎰∞∞-*-=ωωωπd Y X dt t y t x T T TT)()(21)()(5． 两个随机过程的互功率由于)(t x 与)(t y 具有随机性，)(t x T 、)(t y T 也具有随机性，从而)(ωT X 、)(ωT Y 具有随机性。

为消除随机性，取：⎰⎰⎰-∞→-∞→-∞→===TT T TTT T T T XY dt t Y t X E Tdtt y t x E T dt t y t x T E W )]()([21lim )]()([21lim])()(21lim [称其为随机过程的互功率。

6． 互功率谱密度由帕塞瓦定理，有⎰⎰∞∞-*-=ωωωπd Y X dt t y t x T T TT )()(21)()(⎰⎰∞∞-*∞→-∞→==ωωωπd T Y X E dt t y t x T E W T T T TT T XY2)]()([lim 21])()(21[lim令：TY X E S T T T XY 2)]()([lim )(ωωω*∞→=称)(ωXY S 为互功率谱。

7． 平稳随机过程互相关与互功率谱的关系定理:互相关与互功率谱为一付里叶变换对，即：⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j XY XY )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j XY XY )(21)(和⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j YX YX )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j YX YX )(21)(8． 互功率谱密度的性质（1）)()()(ωωω*=-=YX YX XY S S S（2）若)(t X 与)(t Y 正交，则0)()(==ωωYX XY S S（3）若)(t X 与)(t Y 不相关，则)(2)()(ωδπωω⋅⋅⋅==Y X YX XY m m S S3.5 噪声与功率谱密度1． 理想白噪声若)(t N 是一个具有0均值的平稳过程，其功率谱密度均匀分布在),(+∞-∞的： 整个频率区间，即021)(N S N =ω0N 为一正实数，则称)(t N 为白噪声过程，简称白噪声。

2． 白噪声的时域分析由⎰+∞∞-=ωωπτωτd eS R j N N )(21)(及021)(N S N =ω，有)(21)(0τδτ⋅=N R N )(t N R 自相关系数为⎩⎨⎧===其他1)0()()(τττN N N R R r以上说明，白噪声在任两个相邻时刻（两个时刻不管多么邻近）的取值都是不相关的。

这说明白噪声过程随时间的起伏极快。

3． 白噪声在工程中的应用实际上，白噪声是不存在的。

在工程中，当所研究的随机过程通过某一系统时，若过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把它当作白噪声来处理。