第4章随机变量的数字特征指联系于分布函数的某些数，如平均值，离散程度等.本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数、矩等4. 1随机变量的数学期望例4. 1甲、乙两射击手击中目标的环数用随机变量X、Y表示，它们的分布分别如下:试比较甲、乙两射击手射击技术的优劣解假设甲、乙两射击手分别射击N次，则射击手甲击中的总环数为N 0.3 8 N 0.1 9 N 0.6 10,N 0.3 8 N 0.1 9 N 0.6 10平均环数为9.3 ；N射击手乙击中的总环数为N 0.1 8 N 0.4 9 N 0.5 10，N 0.1 8 N 0.4 9 N 0.5 10平均环数为---------------------------------------- 9.4N上述平均环数可以告诉我们，射击手乙的射击技术优于射击手甲从例4.1可以看出，在大量次独立重复试验中，离散型随机变量的平均值总是稳定在一个常数附近，这个常数就是将分布列表中各组对应数据相乘所得乘积的总和，据此, 我们给出随机变量数学期望的定义.定义4.1设离散型随机变量X的分布律为P(X X j) p i,i 1,2 .如果X k P kk 1则称(4. 1)E(X)= X j P i .i 1为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.若|x k | p k不收敛，则称X的数学期望不存在类似地给出连续型随机变量的数学期望的定义 定义4.2设连续型随机变量 X 的密度函数为f (X ).E(X)= xf (x)dx .为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值•若| x | f (x)dx 不收敛，则称 X 的数学期望不存在•例4.2设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间求 E(X).4. 1.2随机变量函数的数学期望 按照随机变量 X 的数学期望的定义，E(X)由其分布唯一确定，如今若要求随机变量的一个函数 g(X)的数学期望，可以通过下面的一个定理来求得定理4. 1设Y 是随机变量 X 的函数：Y g(X)( g 为连续函数)(1)X 是离散型随机变量，它的分布律为 P(X X i ) P i ,i 1,2 ，若 g(X i )p ii 1绝对收敛，则有如果| x| f (x)dx则称计)是一个随机变量, 其密度函数为f(x)1 2x,15002J(x 1500 0,3000),1500其他1500 3000，(4. 2)X (以分种E(X) =xf (x)dx15001x------- xdx 0150030001 …x 15002 (x 15003000)dx500 1000 1500 ( min )4.3柯西分布的密度函数为f (x)丄 1 1 X 2' .求 E(X).因为|x|f(x)dx1 1|x|—厂严，故E(X)不存在.20 04.1的重要意义在于当求 E(Y)时，不必先算出 Y 的分布.类似于一维随机变量的数学期望，此定理还可以推广到多维随机变量函数的数学期(X ，Y )的函数：Z g(X,Y)( g 为连续函数)这里，假设(4.5)，(4. 6)的右端都是绝对收敛的 例4. 4设随机变量X 的概率密度为求 E(e 3X )2 21e 2 dxdy22e rdr则有(2) E(Y) Eg(X) X 是连续型随机变量, E(Y) E g(X)g(xjP i(4. 3)它的密度函数为f (x).若 g(x)f (x)dx 绝对收敛,g(x) f (x)dx .(4. 4)定理 定理4.2设Z 是二维随机变量(1)若二维随机变量(X ，Y )的分布律P(X x i ,Y y j )Pij ， i, j1,2,E(Z) E(g(X,Y))g(X i ,y j )P j .j 1 i 1(4. 5)(2)若二维随机变量(X ，丫 ) 的密度函数为 f (x, y)，则有E(Z) E(g(X,Y)) g(x, y)f (x,y)dxdy(4. 6)f(x)xxe解 E(e 3X )e 3x f(x)dx o e 3x xe x dx o xe 4xdx_1 16例4.5设随机变量(X ，Y )服从二维正态分布,其密度函数为1f (x,y) e，求Z X 2 Y 2的数学期望E(Z).解 E(Z)x 2 y 2易知X i X 1 X 2 X 10.12 2r 2r 2 e 2 dr21e“r • 2 1 、 •22 Y 24.1.3数学期望的性质 以下假设所涉及的随机变量的数学期望存在性质1设C 是常数，则有E(C) C .性质2设X 是一个随机变量， C 是常数，则有 E(CX) CE(X). 性质3设X,Y 是两个随机变量，则有 E(X Y) E(X) E(Y).nn推论 设有随机变量 X ,,X 2, X n ,则有E( X i ) E(X i ).i 1i 1性质4设X,Y 是两个独立的随机变量，则有 E(XY) E(X)E(Y) 性质1和性质2可以自己证明.下面就连续情形给出性质3和性质4的证明，对于离散情形，读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到证明证明(性质3) 设二维随机变量(X,Y )的密度函数为 f (x, y)，其边缘密度函 数为f X (x)， f Y (x).由随机变量函数的数学期望知道，E(X Y) (x y)f(x, y)dxdy xf(x, y)dxdyyf (x, y)dxdyE(X) E(Y).证明(性质4)因X,Y 是两个独立的随机变量，于是xf x (x) f Y (y)dxdy=[Xf x (x)dx][yf Y (y)dy]=E(X)E(Y).例4.6机场大巴载有 20位旅客自起点站开出，途经 10个站点•设每位旅客在各个解引入随机变量X i °,在第i站没有人下车，i 1,2, ,10.i1, 在第i 站有人下车。

E(XY)xy f (x, y)dxdy 站点下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立.以X 表示停车的次数，求 E(X).209，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率10E(X 1) E(X 2) E(X 10)20910 18.784.10本题是将X 分解成若干个随机变量之和，然后利用数学期望的性质来求数学期望， 这种处理方法具有一定的普遍意义4. 2随机变量的方差4. 2. 1方差的定义例4.1曾用平均环数来评判甲、乙两个射击手射击技术的优劣，如果二者平均环数相同，那么仅用平均环数就无法科学地评判两个射击手射击技术的优劣，如下例例4.7甲、乙两射击手击中目标的环数用随机变量 X 、Y 表示，它们的分布分别如下：试比较甲、乙两射击手射击技术的优劣解 假设甲、乙两射击手分别射击N 次，则射击手甲击中的平均环数为N 0.3 8 N 0.1 9 N 0.6 10N射击手乙击中的平均环数为N 0.2 8 N 0.3 9 N 0.5 109.3.N其实，还可以进一步考察射击手环数与平均环数的偏离程度，若偏离程度较小，则表示 成绩比较稳定.从这个意义上说，我们认为甲射击手相对于乙射击手较稳定.由此可见,按题意, 任一旅客在第i 站不下车的概率是为110，在第i 站有人下车的概率为 120P(X i 0)10, p (X i1)20,也就是209-9 ,i 1,2, ,10. 10进而，有E(X) E(X 1 X 2X®)讨论随机变量与其均值的偏离程度是十分有必要的.那么用怎样的量去度量这个偏离程20度呢？因为X E(X)可能为正，也可能为负，为了避免正负偏离相互抵消，自然而然会考虑取X E(X)，但是绝对值运算不方便•为了便于运算方便，通常是取2 2X E(X)，然后求其均值E((X E(X))2)就可以作为刻画随机变量X的“波动”程度，这个量被称作为随机变量X的方差•定义4.3设X是一个随机变量，若E[(X E(X)]2存在，则称E[(X E(X)]2为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X)，即D(X) Var(X) E[(X E(X)]2. ( 4.7)称方差的算术平方根..D(X)为随机变量X的标准差或均方差，记为(X).方差和标准差的功能相似，它们都是用来描述随机变量取值的集中与分散程度的两个特征数，若X的取值比较集中，则D(X)较小，若X的取值比较分散，则D(X)较大.方差与标准差的区别主要在量纲上，由于标准差与所讨论的随机变量的数学期望有相同的量纲，所以在实际中，人们比较喜欢选用标准差，但标准差的计算必须通过方差才能计算•由定义4.3知道，方差实际上就是随机变量X的函数g(X) (X E(X))2的数学期望，于是，对于离散型随机变量，按( 4. 7)式有D(X)iX i1E(X) P i，(4.8)其中P(X X i) P i，i1,2为X的分布律•对于连续型随机变量，按( 4. 7)式有D(X)X E(X) 2f (x)dx，(4.9) 其中f(x)为X的密度函数.随机变量X的方差可按下面公式计算：2 2D(X) E(X2) E(X) . ( 4.10)事实上，由数学期望的性质1、性质2、性质3得D(X) E[X E(X)]2 E(X2 2XE(X) [E(X)]2)2E(X2) 2E(X)E(X) E(X)E(X2) E(X)4.2. 2 方差的性质下面给出数学期望的几个常用性质,以下假设随机变量的数学期望是存在的性质 1 D(X) 0.性质2设C是常数，则有D(C) 0.性质 3 X 是一个随机变量，C 是常数，则有D(CX d) C2D(X) .性质 4 设X,Y 是两个随机变量，则有D(X Y) D(X ) D(Y)2E[X E(X)][Y E(Y)].特别地, 若X,Y 相互独立,则有D(X Y)D(X)D(Y).证明D(X Y) E[( X Y) E(X Y)]2E[( X E(X)2(Y E(Y)]22E[X E(X)][Y E(Y)]E[X2E(X)]2E[Y2E(Y)]2D(X)D(Y)2E[X E(X)][Y E(Y)]E[X E(X )][Y E(Y)]E[XY YE(X) XE(Y) E(X)E(Y)]E(XY) E(X)E(Y) E(Y)E(X) E(X)E(Y)E(XY) E(X)E(Y).若X,Y 相互独立,由数学期望的性质4知道E(XY) E(X)E(Y) 0 ,于是有D(X Y) D(X) D(Y).同理可证明D(X Y) D(X) D(Y) .这一性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.例如，若X j~N( i, i2),i 1,2, ,n，且它们相互独立，则它们的线性组合：C1X1 C2X2 C n X n( C i,C2, ,C n是不全为0的常数)仍服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道：n nk 0 k 0这是一个重要的结果Z 2X 4Y 的分布.故 Z ~ N( 8,676).4.3常见随机变量的数学期望和方差1. 两点分布的数学期望和方差证明 E(X) 0 q 12. 二项分布的数学期望和方差所以nk _ k. n kk C n p qK 0n■ /1\1 /k k n kk(k 1) k C np q~ B(n, p),0 p 1,则 E(X) np , D(X) npq证明 由于随机变量 X ~ B(n, p)，C ：p k q n k ， (k0,1,2, , n;qp)，n (n 1)! (k k1)!(n k)! pnpk 1(n 1)! (k 1)!(n k)!np(p \ n 1q) np .C n X nN( C ii 12 2c 2 2) iii例 4.8 若 X ~ N(2,52),Y ~ N(3,62)们相互独立，求随机变量函数解 E(Z) 2 24 3 8，D(Z)22 52 42 62 676，设随机变量X ~ 01，q p1,q 1p ，则 E(X) p ，D(X) pqE(X 2)02 (1 P) 12由公式(4. 10)知D(X)E(X 2)E(X)p 2P(1 p) pq .E(X)E(X 2)n2 k k n kk C n pqnnk 0k 0n(n 1)p 2(p q)n 2 np n(n 1) p 2 np .D(X) E(X 2) E(X)2 npq .3. 泊松分布的数学期望和方差 设 X ~ P()，贝U E(X) , D(X) 证明由于随机变量X 的分布律为即 E(X)2所以随机变量X 的方差为D(X) E(X 2) E(X)2由此，泊松分布的数学期望与方差相等，都等于 只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了k k n kk(k 1)C n Pqk k n kC np qk(kk 0k k n k1)C np qnpk(k 1)n!k 2k!(nnp n(nn1)p 2 k 2(n 2)! (k 2)!(nk)!2q (n 2) (k 2)np于是所以随机变量P(X k)k^，k0,1,2L , 0.X 的数学期望为ke E(X) ko kFk1(k 1)!2E(X ) E X(X1)E X(X1) E(X)k(kk 1k 22 2ee ek 2(k 2)!.又泊松分布只含有一个参数2所以随机变量X 的方差为D(X) E(X 2) [E(X)]25.均匀分布的数学期望和方差证明 由于随机变量 X 的密度函数为所以X 的数学期望为4.几何分布的数学期望和方差1设 X ~G(p)，则 E(X )—，D(X)P1 p T~p证明 由于随机变量 X 的分布律为kP(X k) pq则称随机变量X 的数学期望为kE(X) kpqk 1kq k12 2E(X ) k pqk 1k 2qp[ k(kk 1k 11)qkq k 1]2 pq(1 q)3 p2q 2p设 X ~ U(a,b)，则 E(X)--2D(X)(b a)2 12f(x)b a 0,其他。