高三数学一轮复习第2课时导数的应用(一)单调性学案
【课本导读】
函数的单调性
(1)设函数y＝f(x)在某个区间内，若f′(x) 0，则f(x)为增函数；若f′(x) 0，则f(x)为减函数．
(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：
①确定f(x)的；
②求导数f′(x)；
③令f′(x) 0(或f′(x) 0)，解出相应的x的范围；
④当时，f(x)在相应区间上是增函数，当时，f(x)在相应区间上是减函数．【教材回归】
1．(2012·辽宁)函数y＝1
2
x2－ln x的单调减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是________；
(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________．
3．已知f(x)＝sin x＋2x，x∈R，且f(1－a)＋f(2a)<0，则a的取值范围是________．
4．若f(x)＝－1
2
x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )
A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
【授人以渔】
题型一求函数的单调区间
例1 (1)求函数f(x)＝x2＋1
x－1
的单调区间．
(2)求函数f(x)＝x＋21－x的单调区间．
(3)求函数f(x)＝
1
x ln x
的单调区间．
思考题1 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝(x－1)2－ln(x－1)2；
(2) f(x)＝(x－1)e x－x2.
题型二讨论函数的单调性
例2 (2011·北京)已知函数f(x)＝.求f(x)的单调区间．
思考题2 已知函数f(x)＝a ln x＋2a2
x
＋x(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
题型三利用单调性求参数范围
例3 设函数f(x)＝x(e x－1)－ax2.
(1)若a＝1
2
，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
思考题3 (1)设函数f(x)＝1
3
x3－
a
2
x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y
＝1.
①求b，c的值；
②若a>0，求函数f(x)的单调区间；
③设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【本课总结】
1．在某个区间(a，b)上，若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．
3．使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性．
【自助餐】
1．若函数f(x)＝(x2－2x)e x在(a，b)上单调递减，则b－a的最大值为( )
A．2 B. 2 C．4 D．2 2
2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )
A．(0,1) B．[0,2]
C．(2,3) D．(2,4)
4．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有( )
A．f(x)>g(x)
B．f(x)<g(x)
C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
5．已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．。