小升初培优（三）找规律、定义新运算和程序运算一、课堂要求二、知识结构l.找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型：(1)-列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系．(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律：12,,9,7,5,3,1)1(-n Λ(n 为正整数)．n 2,,10,8,6,4,2)2(Λ(n 为正整数)．n 2,,32,16,8,4,2)3(Λ(n 为正整数)．1,,26,17,10,5,2)4(2+n Λ(n 为正整数)．1,,24,15,8,3,0)5(2-n Λ(n 为正整数)．)1(,,20,12,6,2)6(+n n Λ(n 为正整数)．x x x x x x x n )1(,,,,,,,)7(-+-+-+-Λ(n 为正整数)．x x x x x x x n 1)1(,...,,,,,,8+--+-+-+）（(n 为正整数)．(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数：⋅+2)1(,,21,15,10,6,3,1n n Λ 2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代人，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算．(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．3.程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力.本节重点讲解：两大能力，三种题型(找规律、定义新运算和程序计算)．三、全能突破小试牛刀1．根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空．2．观察下面一列整式：,,201,121,61,21161698442Λy x y x y x y x --照此规律第6个整式是 ，第n 个（n≥1且为整数）整式是3．正整数按图2-3-2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字4．图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是 个．5．如图2-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ；第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ．6．观察下列等式：;531422⨯=-①;732522⨯=-②;933622⨯=-③;1134722⨯=-④…则第n （n 是正整数）个等式为 7．我们规定一种运算：,bc ad d c ba -=若,0124=-x x 则=x8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作：魔术师立刻说出观众想的那个数．(1)如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是 ，(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能 力 提 升9．已知：,,10244,2564,644,164,4454321Λ=====以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定2006200720072006+的个位数字为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D10．如图2-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2-3-7 (a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2-3-7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )15.A 25.B 55.C 1225.D12．(1)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是 ． (2)任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为 ．13.在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为j i a ,（其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数j i a ,规定如下：当j i ≥&时，;1,=j i a 当j i <时，.0.i =j a 例如：当1,2==j i &&时，.11,2,==a a j i 按此规定，=3,1a ．；表中的25个数中，共有 个1；计算.3,12,2,11,1,1a a a a a i i +⋅+⋅ 5,5,14,4,13,i i i a a a a a ⋅+⋅+的值为14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明文（解密），已知加密规则如图2-3-8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．15．已知,2,2≥≥n m 且m ，n 均为正整数，如果将nm 进行如图2-3-9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11．②在34的“分解”中最小的数是13．③若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5．其中正确的是 16．有一个运算程序，当n b a =Θ(n 为常数)时，则,2)1(,1)1(-=+Θ+=Θ+n b a n b a 若,211=Θ则=Θ2012201217.按图2-3-10所示的程序计算：若输入x = 100，输出结果是501，若输入x = 25，输出结果是631，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x 的可能值为 ．18．如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 & # x -62 … …图2-3-11(1)可求得x= ．第2012个格子中的数为 ．(2)判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为20127若能，求出m 的值；若不能，请说明理由；19．阅读图2-3-12并回答下列问题：(1)若A 为785，则E= ；(2)按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中 考 链 接20．图2-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D.请你按图中箭头所指方向（即Λ→→→→→→→→→C B A B C D C B A 的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．21．符号“f"表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：Λ,3)4(,2)3(,1)2(,0)1(====f f f f ①Λ,5)51(,4)41(,3)31(,2)21(====f f f f ② 利用以上规律计算：=-)2012()20121(f f22．(1)如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 ．(2)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示： 十六进制 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：,1,123,5B D E F F A =+=+=+则=⨯C A难 点 突 破23.图2-3-15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是24.对于两数a 和b ，给定一种运算,:ab b a b a -+=井“井”则在下列等式中： ;a b b a 井井①= ;0a a =井② ).()(c b a c b a 井井井井③=正确的是 (填序号）．25.正整数，n 小于100，并满足等式,]6[]3[]2[n n n n =++其中[x]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数 n 有多少个？。