( ) OP选修 2-2 第三章复数测试题时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112答案1．i 为虚数单位， 1－i 2＝( ) 1＋i A ．－1B ．1C ．－iD ．i2．设复数 z ＝1＋ 2i ，则 z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i3．若复数 z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．－2 或 24. 如右图，在复平面内，向量→对应的复数是 1→ →－i ，将OP 向左平移一个单位后得到O 0P 0，则 P 0 对应的复数为()A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i5. 已知 a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若 a －i 与 2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i6．复数 z ＝1＋i ，z 为 z 的共轭复数，则 z z －z －1＝( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i7. z 是 z 的共轭复数，若 z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则 z ＝( )A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i8.满足条件|z－1|＝|5＋12i|的复数z 在复平面上对应Z 点的轨迹是( )A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆9.定义运算|a b|＝ad－bc，则符合条件|1－1|＝4＋2i 的复数zc d为( )z z iA．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i10.已知复数z1＝a＋2i，z2＝a＋(a＋3)i，且z1z2>0，则实数a 的值为( )A．0 B．0 或－5 C．－5 D．以上均不对11．复数z 满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z 对应的点的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线12．设z 是复数，α(z)表示满足z n＝1 的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)等于( )A．8 B．6 C．4 D．2第Ⅱ卷(非选择题，共90 分)二、填空题(每小题5 分，共20 分)13．复数i2(1＋i)的实部是．14.复数z＝2＋i(i 为虚数单位)，则z 对应的点在第1＋i象限．15.设a，b∈R，a＋b i＝11－7i(i 为虚数单位)，则a＋b 的值为1－2i．z 16. 已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋，i 是虚数单位)是方程x 2－4x ＋5＝0 的根．复数 ω＝u ＋3i(u ∈R)满足|ω－z |<2．5，则 u 的取值范围为三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分) 17．(10 分)m 为何实数时，复数 z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 18．(12 分)计算： (1)(2＋i )(1－i )24＋5i1－2i ； (2) .(5－4i )(1－i )19.(12 分)已知复数 z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )，ω＝z ＋a i(a ∈R)，i当|ω|≤ 2时，求 a 的取值范围．20．(12 分)在复平面内，复数 z 1在连结 1＋i 和 1－i 的线段上移动，设复数 z 2 在以原点为圆心，半径为 1 的圆周上移动，求复数 z 1＋z 2 在复平面上移动范围的面积．21.(12 分)设复数 z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足 z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z≤3，求|z |的最大值和最小值．x 1.22.(12 分)关于 x 的方程 x 2－(1＋3i)x ＋(2i －m )＝0(m ∈R)有纯虚根(1) 求 x 1 和 m 的值；(2) 利用根与系数的关系猜想方程的另一个根 x 2，并给予证明； (3) 设 x 1，x 2 在复平面内的对应点分别为 A ，B ，求|AB |.( ) OP ＝ ＝ ＝－1．A1－i 2(1－i )2 答案－2i1，故选 A.2．Az 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋ 2i)( 2i －1)＝－2－1＝－3.3．A ∵z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数， ∴Error!⇒x ＝－2.4．D 要求 P对应的复数，根据题意，只需知道 →0，而 →0＝ →0OP OP OO→＋O 0P 0，从而可求 P 0 对应的复数．→ → →∵O 0P 0＝OP ，OO 0对应的复数是－1，∴P 0 对应的复数即 →0对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.5．D 由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.6．B ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i. ∴z ·z ＝|z |2＝2.∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.7．D 设 z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 由 z ＋z ＝2，得 2a ＝2，即 a ＝1； 又由(z －z )i ＝2，得 2b i·i ＝2，即 b ＝－1. 故 z ＝1－i.8．C 本题中|z －1|表示点 Z 到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数 5＋ 12i 的模长，所以|z －1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13 为半径的圆．注1＋i (1＋i )2 2i) x ＋ 3 y ＋ 3 ＝ .9 ＝ ＝ ＝ － 意复数的模的定义及常见曲线的定义．4＋2i9．A 由定义，|1 －1|＝z i ＋z ，所以 z i ＋z ＝4＋2i ，所以 z ＝＝3－i.z z i 1＋i10．C z 1z 2＝(a ＋2i)·[a ＋(a ＋3)i]＝(a 2－2a －6)＋(a 2＋5a )i ，由z 1z 2>0 知 z 1z 2 为实数，且为正实数，因此满足Error!解得 a ＝－5(a ＝0 舍去)． 11．A 设 z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则|2x ＋2y i ＋1|＝|x ＋y i －i|， 即 (2x ＋1)2＋4y 2＝ x 2＋(y －1)2，所以 3x 2＋3y 2＋4x ＋2y ＝0，即 ( 2)2＋( 1 2 512．C ∵α(z )表示满足 z n＝1 的最小正整数 n ，∴α(i)表示满足 i n＝1 的最小正整数 n .∵i 2＝－1，i 4＝1.∴α(i)＝4.13.－1解析：∵i 2(1＋i)＝－1－i ， ∴i 2(1＋i)的实部为－1. 14．四解析：∵z ＝2＋i (2＋i )(1－i ) 3－i 3 1i ，∴复数 z 对应点的1＋i 23 12 2 2 坐标为 ，－ ，为第四象限的点．2 215．8解析：∵a＋b i 11－7i＝，∴a＋b i1－2i (11－7i)(1＋2i)＝＝5＋3i.(1－2i)(1＋2i)根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，故a＋b＝8.16．(－2,6)解析：原方程的根为x＝2±i.∵a，b∈R＋，∴z＝2＋i.∵|ω－z|＝|(u＋3i)－(2＋i)|＝∴－2<u<6.(u－2)2＋4<2 5，17．解：∴z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)＝2m2＋m2i－3m i－3m－2＋2i＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，∴(1)由m2－3m＋2＝0，得m＝1，或m＝2，即m＝1 或2 时，z 为实数．(2)由m2－3m＋2≠0，得m≠1，且m≠2，即m≠1，且m≠2 时，z 为虚数．(3)由Error!得m1即m 1＝－，2z 为纯虚数．＝－时，2 18．解：(1)(2＋i)(1－i)2(2＋i)(－2i)2(1－2i)＝2.1－2i＝＝1－2i 1－2i(2) 4＋5i＝(5－4i)i(5－4i)(1－i)(5－4i)(1－i)i i(1＋i)＝＝i－1 ＝1－i (1－i)(1＋i)21 1 ＝－＋i.2 219．解：∵z＝2＋4i－(1＋3i)i1＋i＝i＝－i(1＋i)＝1－i，∴ω＝1＋(a－1)i，ω1＋(a－1)i∴＝z 1－i[1＋(a－1)i](1＋i)2－a＋a i＝＝.2 2由|ω|≤ 2，得(2－a)2＋(a)2≤2，z 2 2解得1－3≤a≤1＋3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设ω＝z1＋z2，z2＝ω－z1，|z2|＝|ω－z1|，∵|z2|＝1，∴|ω－z1|＝1.上式说明对于给定的z1，ω 在以z1为圆心，1为半径的圆上运动，又z1在连结1＋i 和1－i 的线段上移动，∴ω 的移动范围的面积为：S＝2×2＋π×12＝4＋π.21.解：z·z＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·z≤3⇒x2＋y2＋(1－2i)(x＋y i)＋(1＋2i)(x－y i)≤3⇒(x＋1)2＋(y＋2)2≤8，即|z＋1＋2i|≤2 2，所以复数z 对应的点的集合是以C(－1，－2)为圆心，2面(包括边界)．2为半径的圆又因为|OC|＝5<2 2，所以，原点在圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8 的内部，如下图．－ i 所以，当 z ＝－5＋2 10 10＋4 10时，|z | ＝ 5＋2 2；当 z ＝05 5时，|z |min ＝0.max22．解：(1)由题意，设x 1＝b i(b ≠0 且b ∈R)，代入方程，得(b i)2－(1＋ 3i)·b i ＋(2i －m )＝0，即－b 2－b i ＋3b ＋2i －m ＝0，即(－b 2＋3b －m )＋(2 －b )i ＝0，所以Error!解得Error!所以 x 1＝2i ，m ＝2.(2)由根与系数的关系知 x 1＋x 2＝1＋3i ，所以 x 2＝1＋3i －x 1＝1＋3i －2i ＝1＋i.证明：把x 2＝1＋i 代入原方程的左边，得(1＋i)2－(1＋3i)(1＋i)＋(2i －2)＝2i －(－2＋4i)＋(2i －2)＝0，所以 x 2＝1＋i 是方程 x 2－(1＋3i)x ＋ (2i －2)＝0 的根．(3)由(1)，(2)知，A (0,2)，B (1,1)，所以|AB |＝ (0－1)2＋(2－1)2＝ 2.。